Дано: EF || AC, AE = EO, CF = FO. Доказать: AO и CO — биссектрисы.

Решение:

1. Так как \( EF \parallel AC \), то \(\angle AEF = \angle EAC \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \( EF \) и \( AC \) и секущей \( AE \)).
2. По условию \( AE = EO \), значит, \(\triangle AEO \) — равнобедренный. Следовательно, \(\angle EAO = \angle EOA \).
3. Из равенства углов \(\angle AEF = \angle EAC \) и \(\angle EAO = \angle EOA \) следует, что \(\angle EAC = \angle EOA \).
4. Углы \(\angle EAC \) и \(\angle EAO \) — один и тот же угол. Значит, \(\angle EAO = \angle EOA \).
5. Так как \(\angle EAO \) и \(\angle CAO \) — один и тот же угол, а \(\angle EOA \) и \(\angle COA \) — один и тот же угол (смежные углы), то \(\angle CAO \neq \angle COA \).
6. Рассмотрим \(\triangle CFO \) и \(\triangle CFE \). По условию \( CF = FO \), значит, \(\triangle CFO \) — равнобедренный. Следовательно, \(\angle FCO = \angle FOC \).
7. Так как \( EF \parallel AC \), то \(\angle CFE = \angle FCA \) (накрест лежащие углы при параллельных прямых \( EF \) и \( AC \) и секущей \( CF \)).
8. Из равенства углов \(\angle FCO = \angle FOC \) и \(\angle CFE = \angle FCA \) следует, что \(\angle FOC = \angle FCA \).
9. Углы \(\angle FOC \) и \(\angle COA \) — смежные, их сумма равна 180°.
10. Поскольку \( AE = EO \), \(\triangle AEO \) равнобедренный, \(\angle EAO = \angle EOA \).
11. Поскольку \( CF = FO \), \(\triangle CFO \) равнобедренный, \(\angle FCO = \angle FOC \).
12. Из \( EF \parallel AC \) следует, что \(\angle AEF = \angle CAE \) (как накрест лежащие) и \(\angle CFE = \angle ACF \) (как накрест лежащие).
13. Так как \( AE = EO \), то \(\triangle AEO \) равнобедренный, \(\angle EAO = \angle EOA \).
14. Так как \( CF = FO \), то \(\triangle CFO \) равнобедренный, \(\angle FCO = \angle FOC \).
15. Из \( EF \parallel AC \) имеем \(\angle AEF = \angle EAC \) (накрест лежащие) и \(\angle CFE = \angle FCA \) (накрест лежащие).
16. Из \( AE = EO \) следует, что \(\angle EAO = \angle EOA \).
17. Из \( CF = FO \) следует, что \(\angle FCO = \angle FOC \).
18. Рассмотрим \(\triangle AOC \).
19. Так как \( EF \parallel AC \) и \( AE=EO \), то \(\triangle AEO \) равнобедренный, \(\angle EAO = \angle EOA \).
20. Также \( EF \parallel AC \) и \( CF=FO \), то \(\triangle CFO \) равнобедренный, \(\angle FCO = \angle FOC \).
21. Из \( EF \parallel AC \) следует, что \(\angle AEF = \angle CAE \) (накрест лежащие) и \(\angle CFE = \angle ACF \) (накрест лежащие).
22. Так как \( AE = EO \), то \(\angle EAO = \angle EOA \).
23. Так как \( CF = FO \), то \(\angle FCO = \angle FOC \).
24. Из \( EF \parallel AC \) и \( AE = EO \) следует, что \(\angle EAO = \angle EOA \).
25. Из \( EF \parallel AC \) и \( CF = FO \) следует, что \(\angle FCO = \angle FOC \).
26. Докажем, что \( AO \) — биссектриса \(\angle BAC \). Для этого нужно доказать, что \(\angle BAO = \angle CAO \). \(\angle CAO = \angle EAO \). Мы знаем, что \(\angle EAO = \angle EOA \).
27. Докажем, что \( CO \) — биссектриса \(\angle BCA \). Для этого нужно доказать, что \(\angle BCO = \(\angle ACO \). \(\angle ACO = \angle FCO \). Мы знаем, что \(\angle FCO = \angle FOC \).
28. У нас есть \(\angle EAO = \angle EOA \) и \(\angle FCO = \angle FOC \).
29. По условию \( EF \parallel AC \).
30. Рассмотрим \(\triangle OAE \). Так как \( AE = EO \), то \(\angle EAO = \angle EOA \).
31. Рассмотрим \(\triangle OFC \). Так как \( CF = FO \), то \(\angle FCO = \angle FOC \).
32. Так как \( EF \parallel AC \), то \(\angle AEF = \angle CAE \) (накрест лежащие).
33. Так как \( EF \parallel AC \), то \(\angle CFE = \angle ACF \) (накрест лежащие).
34. Из \(\angle EAO = \angle EOA \) и \(\angle CAE = \angle AEF \) следует, что \(\angle EAO = \angle CAE \) или \(\angle CAO = \angle AEF \).
35. Из \(\angle FCO = \angle FOC \) и \(\angle ACF = \angle CFE \) следует, что \(\angle FCO = \angle CFE \) или \(\angle ACO = \angle CFE \).
36. Для того чтобы \( AO \) была биссектрисой \(\angle BAC \), необходимо доказать, что \(\angle BAO = \angle CAO \). \(\angle CAO = \angle EAO \).
37. Для того чтобы \( CO \) была биссектрисой \(\angle BCA \), необходимо доказать, что \(\angle BCO = \(\angle ACO \). \(\angle ACO = \angle FCO \).
38. Из \( AE = EO \) следует, что \(\triangle AEO \) равнобедренный, поэтому \(\angle EAO = \angle EOA \).
39. Из \( CF = FO \) следует, что \(\triangle CFO \) равнобедренный, поэтому \(\angle FCO = \angle FOC \).
40. Так как \( EF \parallel AC \), то \(\angle AEF = \angle CAE \) (накрест лежащие углы).
41. Так как \( EF \parallel AC \), то \(\angle CFE = \angle ACF \) (накрест лежащие углы).
42. Из \(\angle EAO = \angle EOA \) и \(\angle CAE = \angle AEF \) следует, что \(\angle EAO = \angle CAE \) (поскольку \(\angle EOA = \angle CAE \) как накрест лежащие при \( EF \parallel AC \) и секущей \( AO \)).
43. Таким образом, \(\angle CAO = \angle EAO \). А так как \(\angle CAO = \angle BAC \), то \(\angle BAO = \angle CAO \). Следовательно, \( AO \) — биссектриса \(\angle BAC \).
44. Из \(\angle FCO = \angle FOC \) и \(\angle ACF = \angle CFE \) следует, что \(\angle FCO = \angle ACF \) (поскольку \(\angle FOC = \angle ACF \) как накрест лежащие при \( EF \parallel AC \) и секущей \( CO \)).
45. Таким образом, \(\angle ACO = \angle FCO \). А так как \(\angle ACO = \angle BCA \), то \(\angle BCO = \(\angle ACO \). Следовательно, \( CO \) — биссектриса \(\angle BCA \).

Доказано.