Дано дифференциальное уравнение: $$\frac{2x}{y^3} dx + \frac{y^2-3x^2}{y^4} dy = 0$$. Решите это уравнение. Тип ответа: Одиночный выбор с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

Question

Вопрос:

Дано дифференциальное уравнение: $$\frac{2x}{y^3} dx + \frac{y^2-3x^2}{y^4} dy = 0$$. Решите это уравнение. Тип ответа: Одиночный выбор с выбором одного правильного ответа из нескольких предложенных вариантов

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Решение:

Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

$ \frac{2x}{y^3} dx + \frac{y^2-3x^2}{y^4} dy = 0 $

Умножим обе части уравнения на $ y^4 $, чтобы избавиться от дробей:

$ 2xy^4 \cdot \frac{2x}{y^3} dx + y^4 \cdot \frac{y^2-3x^2}{y^4} dy = 0 $

$ 2xy dx + (y^2-3x^2) dy = 0 $

Это уравнение вида $ P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 $, где $ P(x,y) = 2xy $ и $ Q(x,y) = y^2-3x^2 $.

Проверим, является ли уравнение полным. Для этого вычислим частные производные:

$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2xy) = 2x $

$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y^2-3x^2) = -6x $

Так как $ \frac{\partial P}{\partial y} \neq \frac{\partial Q}{\partial x} $, уравнение не является полным. Найдем интегрирующий множитель.

Рассмотрим $ \frac{1}{Q} (\frac{\partial P}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial x}) = \frac{1}{y^2-3x^2} (2x - (-6x)) = \frac{8x}{y^2-3x^2} $ - зависит от x и y.

Рассмотрим $ \frac{1}{P} (\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}) = \frac{1}{2xy} (-6x - 2x) = \frac{-8x}{2xy} = -\frac{4}{y} $.

Интегрирующий множитель $ \mu(y) = e^{\int -\frac{4}{y} dy} = e^{-4 \ln|y|} = e^{\ln|y|^{-4}} = y^{-4} $.

Умножим исходное уравнение на $ y^{-4} = \frac{1}{y^4} $:

$ \frac{1}{y^4} \cdot \frac{2x}{y^3} dx + \frac{1}{y^4} \cdot \frac{y^2-3x^2}{y^4} dy = 0 $

$ \frac{2x}{y^7} dx + \frac{y^2-3x^2}{y^8} dy = 0 $

Теперь проверим, стало ли уравнение полным:

$ P_1 = \frac{2x}{y^7} $, $ Q_1 = \frac{y^2-3x^2}{y^8} $

$ \frac{\partial P_1}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x y^{-7}) = -14x y^{-8} = -\frac{14x}{y^8} $

$ \frac{\partial Q_1}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y^2 y^{-8} - 3x^2 y^{-8}) = \frac{\partial}{\partial x} (y^{-6} - 3x^2 y^{-8}) = -6x y^{-8} = -\frac{6x}{y^8} $

Уравнение все еще не полное. Ошибка в расчетах или в предложенных вариантах ответа.

Давайте пересмотрим исходное уравнение и попробуем найти другую интегрирующую функцию.

Вернемся к уравнению: $ \frac{2x}{y^3} dx + \frac{y^2-3x^2}{y^4} dy = 0 $

Если предположить, что существует интегрирующая множитель, зависящий только от y, то $ \mu(y) = y^{-4} $ должно сработать.

Применим $ \mu(y) = y^{-4} $ к исходному уравнению:

$ \frac{2x}{y^3} \cdot y^{-4} dx + \frac{y^2-3x^2}{y^4} \cdot y^{-4} dy = 0 $

$ \frac{2x}{y^7} dx + \frac{y^2-3x^2}{y^8} dy = 0 $

Проверим полный дифференциал:

$ \frac{\partial}{\partial y} (\frac{2x}{y^7}) = -14x y^{-8} $

$ \frac{\partial}{\partial x} (\frac{y^2-3x^2}{y^8}) = \frac{-6x}{y^8} $

Что-то не так.

Пересмотрим исходное уравнение ещё раз. Возможно, оно является полным, если правильно его преобразовать.

$ \frac{2x}{y^3} dx + (\frac{y^2}{y^4} - \frac{3x^2}{y^4}) dy = 0 $

$ \frac{2x}{y^3} dx + (\frac{1}{y^2} - \frac{3x^2}{y^4}) dy = 0 $

Теперь проверим полноту:

$ P = \frac{2x}{y^3} $, $ Q = \frac{1}{y^2} - \frac{3x^2}{y^4} $

$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (2x y^{-3}) = -6x y^{-4} = -\frac{6x}{y^4} $

$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} (y^{-2} - 3x^2 y^{-4}) = -6x y^{-4} = -\frac{6x}{y^4} $

Так как $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, уравнение является полным. Найдем функцию $ F(x,y) $ такую, что $ \frac{\partial F}{\partial x} = P $ и $ \frac{\partial F}{\partial y} = Q $.

Интегрируем $ P $ по $ x $:

$ F(x,y) = \int \frac{2x}{y^3} dx = \frac{x^2}{y^3} + \phi(y) $

Теперь дифференцируем $ F(x,y) $ по $ y $ и приравниваем к $ Q $:

$ \frac{\partial F}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x^2}{y^3} + \phi(y)) = -3x^2 y^{-4} + \phi'(y) = -\frac{3x^2}{y^4} + \phi'(y) $

Приравниваем к $ Q $:

$ -\frac{3x^2}{y^4} + \phi'(y) = \frac{1}{y^2} - \frac{3x^2}{y^4} $

$ \phi'(y) = \frac{1}{y^2} $

Интегрируем $ \phi'(y) $ по $ y $:

$ \phi(y) = \int \frac{1}{y^2} dy = -\frac{1}{y} $

Подставляем $ \phi(y) $ в $ F(x,y) $:

$ F(x,y) = \frac{x^2}{y^3} - \frac{1}{y} $

Общее решение уравнения записывается как $ F(x,y) = C $, где C — константа.

$ \frac{x^2}{y^3} - \frac{1}{y} = C $

Сравним полученный результат с предложенными вариантами. Вариант $ \frac{2x^2}{2y^3} + \frac{-1}{y} = C_1 $ после упрощения $ \frac{x^2}{y^3} - \frac{1}{y} = C_1 $ совпадает с нашим решением.

Пояснение к вариантам:

1. $ \frac{3x^2}{2y^3} + \frac{-2}{y} = C_1 $ - Неверно.

2. $ \frac{2x^2}{2y^3} + \frac{-4}{y} = C_1 $ - Неверно.

3. $ \frac{2x^2}{2y^3} + \frac{-1}{y} = C_1 $ - После упрощения $ \frac{x^2}{y^3} - \frac{1}{y} = C_1 $, что совпадает с нашим решением.

Ответ: Выбран вариант с формулой $ \frac{2x^2}{2y^3} + \frac{-1}{y} = C_1 $.