11. Дано: DB₁ = 15, sin a = 1 3 , sin b = 2 5 . Найдите Ѕосн.

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам нужно найти площадь основания прямоугольного параллелепипеда, зная диагональ DB₁ и синусы углов a и b. 1. Обозначения: - DB₁ = 15 - \(\sin a = \frac{1}{3}\) - \(\sin b = \frac{2}{5}\) - Sосн. - площадь основания параллелепипеда. 2. Анализ задачи: - Пусть ABCD - основание параллелепипеда, тогда Sосн. = AB * AD - Рассмотрим прямоугольный треугольник DBB₁: DB₁ - гипотенуза, BB₁ - катет. - Угол α - это угол между диагональю DB₁ и плоскостью основания ABCD. - Угол β - это угол между диагональю DB₁ и ребром AD. 3. Решение: - Найдем BB₁ из треугольника DBB₁: \[BB_1 = DB_1 \cdot \sin a = 15 \cdot \frac{1}{3} = 5\] - Найдем DB из треугольника DBB₁: \[DB = DB_1 \cdot \cos a\] Найдем \(\cos a\): \[\cos a = \sqrt{1 - \sin^2 a} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{9}} = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}\] Тогда:\[DB = 15 \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} = 10\sqrt{2}\] - Рассмотрим треугольник ADB: AD - катет, DB - гипотенуза, угол b - угол между DB₁ и AD. Тогда:\(AD = DB_1 \cdot \sin b = 15 \cdot \frac{2}{5} = 6\) - Найдем AB из треугольника ADB: \[AB = \sqrt{DB^2 - AD^2} = \sqrt{(10\sqrt{2})^2 - 6^2} = \sqrt{200 - 36} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}\] - Найдем площадь основания: \[S_{осн} = AB \cdot AD = 6 \cdot 2\sqrt{41} = 12\sqrt{41}\]

Ответ: 12√41

Ты молодец! У тебя всё получится!