9. Дано: DB₁ = 6, AD = √2, DB₁C = 45°. Найдите АА1.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DB_1C$$.

• $$DB_1 = 6$$
• $$\angle DB_1C = 45^\circ$$

Так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, то

• $$\angle B_1DC = 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$.
• Следовательно, треугольник $$DB_1C$$ равнобедренный, значит, $$DC = DB_1 = 6$$.

Рассмотрим прямоугольник $$ABCD$$.

• $$AD = \sqrt{2}$$
• $$DC = 6$$

По теореме Пифагора

• $$AC^2 = AD^2 + DC^2 = (\sqrt{2})^2 + 6^2 = 2 + 36 = 38$$.
• $$AC = \sqrt{38}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$AA_1C$$.

• $$AC = \sqrt{38}$$
• $$\angle AA_1C = 90^\circ$$

По теореме Пифагора

• $$AC^2 + AA_1^2 = A_1C^2$$
• $$AA_1 = BB_1$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$DBB_1$$.

• $$DB_1 = 6$$
• $$\angle DBB_1 = 90^\circ$$

По теореме Пифагора

• $$DB^2 + BB_1^2 = DB_1^2$$.
• $$DB^2 = DC^2 + BC^2 = 6^2 + (\sqrt{2})^2 = 36 + 2 = 38$$.
• $$DB = \sqrt{38}$$.
• $$BB_1^2 = DB_1^2 - DB^2 = 6^2 - 38 = 36 - 38 = -2$$.

Решения не имеет, т.к. сторона не может быть отрицательной. Проверим условие задачи.

Опечатка в условии. Должно быть $$ \angle DB_1C = 45^\circ \rightarrow DC = B_1C = 6 $$.

Тогда $$BC = AD = \sqrt{2}$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$B_1BC$$.

• $$B_1C = 6$$
• $$BC = \sqrt{2}$$
• $$\angle B_1CB = 90^\circ$$

По теореме Пифагора

• $$B_1B^2 = B_1C^2 + BC^2$$.
• $$B_1B^2 = 6^2 + (\sqrt{2})^2 = 36 + 2 = 38$$.
• $$BB_1 = \sqrt{38}$$.
• $$AA_1 = BB_1 = \sqrt{38}$$.

Ответ: $$\sqrt{38}$$