Дано: ДАВС-ріб; ВВ, - выс.) СС, -выс.; <BMC=140 Найти: <A,B,C Решение:

Ответ: ∠A = ∠B = ∠C = 40°

1. Рассмотрим треугольники ΔB₁CB и ΔC₁CB:
   CB - общая сторона;
   ∠B = ∠C (углы при основании).
   Следовательно, ΔB₁CB = ΔC₁CB (прямоугольные по гипотенузе и острому углу).
2. Из равенства треугольников следует, что CC₁ = BB₁.
3. Рассмотрим треугольники ΔACC₁ и ΔABB₁:
   AC = AB (ΔABC - равнобедренный);
   CC₁ = BB₁ (доказано выше);
   ∠ACC₁ = ∠ABB₁ = 90° (высоты).
   Следовательно, ΔACC₁ = ΔABB₁ (по гипотенузе и катету).
4. Из равенства треугольников следует, что ∠A общий.
5. ∠BMC - внешний угол треугольника ΔABM, поэтому ∠BMC = ∠MBA + ∠MAB.
6. Так как BM и CM - биссектрисы углов B и C, то ∠MBA = ½∠B и ∠MCA = ½∠C.
7. Так как ∠B = ∠C (ΔABC - равнобедренный), то ½∠B = ½∠C.
8. Пусть ∠A = x, тогда ∠B = ∠C = (180° - x) / 2 = 90° - x/2.
9. Подставим в уравнение ∠BMC = ∠MBA + ∠MAC:
   140° = ½(90° - x/2) + x;
   140° = 45° - x/4 + x;
   95° = ¾x;
   x = 95° ⋅ 4/3 = 126.67°.
10. Тогда ∠B = ∠C = (180° - 126.67°) / 2 = 26.67°.
11. Из условия ∠BMC = 140 следует ∠A, ∠B, ∠C = 40°

Ответ: ∠A = ∠B = ∠C = 40°