Дано: DA, ZN - диаметры. \angle OPN = 138^{\circ}. Найти: \angle ANP.

Краткая запись:

• DA, ZN - диаметры
• \angle OPN = 138^{\circ}
• Найти: \angle ANP - ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определяем вертикальный угол. Угол \angle OPN и угол \angle ZPA являются вертикальными углами. Вертикальные углы равны. Следовательно, \angle ZPA = \angle OPN = 138^{\circ}.
2. Шаг 2: Находим смежный угол. Угол \angle ZPO и угол \angle OPN образуют развернутый угол (180°), так как ZN - диаметр. Однако, в условии дана мера угла \angle OPN = 138^{\circ}, что является тупым углом. В геометрии принято, что \angle OPN - это угол, образованный пересечением диаметров. Обычно, когда говорят об угле между пересекающимися прямыми, имеют в виду острый угол. Если \angle OPN = 138^{\circ} - это один из углов, то смежный с ним угол будет равен 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}. Но так как DA и ZN - диаметры, то P - центр окружности. Обозначим угол, образованный пересечением радиусов OP и PN как \angle OPN. Обычно, при пересечении двух прямых, образуются две пары равных вертикальных углов. Если \angle OPN = 138^{\circ}, то это тупой угол. Вертикальный ему угол также равен 138^{\circ}. Смежные углы будут равны 180^{\circ} - 138^{\circ} = 42^{\circ}. Предположим, что \angle ZPO = 42^{\circ}.
3. Шаг 3: Находим центральный угол. Угол \angle ZPO является центральным углом, опирающимся на дугу ZA. Мера центрального угла равна мере дуги, на которую он опирается. Следовательно, дуга ZA = \angle ZPO = 42^{\circ}.
4. Шаг 4: Находим вписанный угол. Угол \angle ANP является вписанным углом, опирающимся на дугу AP. Дуга AP и дуга ZA вместе составляют полуокружность, так как DA - диаметр. Поэтому дуга AP = 180^{\circ} - дуга ZA = 180^{\circ} - 42^{\circ} = 138^{\circ}.
5. Шаг 5: Вычисляем искомый угол. Мера вписанного угла равна половине меры дуги, на которую он опирается. \angle ANP = \frac{1}{2} ext{дуга } AP = \frac{1}{2} imes 138^{\circ} = 69^{\circ}.

Ответ: 69^{\circ}