Дано: cos L - sin L = 0,2 Найти: cos^3 L - sin^3 L

Решение:

Воспользуемся формулой разности кубов: \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \).

В нашем случае \( a = \textrm{cos L} \) и \( b = \textrm{sin L} \).

Тогда \( \textrm{cos}^3 \textrm{L} - \textrm{sin}^3 \textrm{L} = (\textrm{cos L} - \textrm{sin L})(\textrm{cos}^2 \textrm{L} + \textrm{cos L} \textrm{sin L} + \textrm{sin}^2 \textrm{L}) \).

Мы знаем, что \( \textrm{cos L} - \textrm{sin L} = 0,2 \) и \( \textrm{cos}^2 \textrm{L} + \textrm{sin}^2 \textrm{L} = 1 \).

Нам осталось найти значение \( \textrm{cos L} \textrm{sin L} \).

Возведём в квадрат известное равенство: \( (\textrm{cos L} - \textrm{sin L})^2 = (0,2)^2 \).

Раскроем скобки: \( \textrm{cos}^2 \textrm{L} - 2 \textrm{cos L} \textrm{sin L} + \textrm{sin}^2 \textrm{L} = 0,04 \).

Используя основное тригонометрическое тождество \( \textrm{cos}^2 \textrm{L} + \textrm{sin}^2 \textrm{L} = 1 \), получим: \( 1 - 2 \textrm{cos L} \textrm{sin L} = 0,04 \).

Выразим \( 2 \textrm{cos L} \textrm{sin L} \): \( 2 \textrm{cos L} \textrm{sin L} = 1 - 0,04 = 0,96 \).

Теперь найдём \( \textrm{cos L} \textrm{sin L} \): \( \textrm{cos L} \textrm{sin L} = \frac{0,96}{2} = 0,48 \).

Подставим найденные значения в формулу разности кубов:

\( \textrm{cos}^3 \textrm{L} - \textrm{sin}^3 \textrm{L} = (0,2)(1 + 0,48) = 0,2 \times 1,48 \).

Вычислим результат: \( 0,2 \times 1,48 = 0,296 \).

Ответ: 0,296