Дано: CO = OD, ∠C = 90°, ∠D = 90° (рис. 2.120). Доказать: O — середина AB.

Рассмотрим треугольники \(\triangle ACO\) и \(\triangle BDO\).

Так как \(\angle ACO=90^\circ\) и \(\angle BDO=90^\circ\), эти треугольники — прямоугольные. Углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) — вертикальные, поэтому \(\angle AOC=\angle BOD\). По условию \(CO=OD\).

Следовательно, \(\triangle ACO=\triangle BDO\) по двум катетам и прилежащему острому углу (или по катету и двум острым углам). Поэтому соответствующие стороны равны: \(AO=OB\).

Точка \(O\) лежит на отрезке \(AB\), так как прямые \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(O\). Значит, \(O\) делит отрезок \(AB\) на два равных отрезка.

Ответ: \(O\) — середина отрезка \(AB\).