Дано, что \( BE \) — биссектриса угла \( ABC \). \( AD \perp BA \) и \( BC \perp EC \). Найди \( BE \), если \( AD = 12 \) см, \( BA = 16 \) см, \( EC = 2,4 \) см.

Ответ: \( BE = 20 \) см

1. Докажем подобие треугольников \(\triangle BEC \) и \(\triangle BDA \)

   • \(\angle BEC = \angle BDA = 90^\circ\)
   • \(\angle DBE = \angle CBE \), т.к. \(BE\) - биссектриса

   Следовательно, \(\triangle BEC \sim \triangle BDA \) по двум углам.

2. Составим пропорцию из подобия треугольников:

   \[\frac{BE}{BD} = \frac{EC}{DA} = \frac{BC}{BA}\]

3. Выразим \(BD\) как сумму \(BE + ED\):

   \[\frac{BE}{BE + ED} = \frac{2.4}{12}\]

   Упростим уравнение:

   \[\frac{BE}{BE + ED} = \frac{1}{5}\]

   \[5BE = BE + ED\]

   \[4BE = ED\]

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник \(\triangle BDA \). По теореме Пифагора:

   \[BD^2 = BA^2 + AD^2\]

   \[(BE + ED)^2 = 16^2 + 12^2\]

   \[(BE + 4BE)^2 = 256 + 144\]

   \[25BE^2 = 400\]

   \[BE^2 = 16\]

   \[BE = \sqrt{16} = 4\cdot 5 = 20\text{ см}\]

Ответ: \( BE = 20 \) см