8. Дано: АВ = АА₁, О – центр описанной около ΔАВС окружности. Найдите ∠C₁OC.

Решение:

Давай разберем эту задачу по геометрии вместе. Нам дано, что AB = AA₁, и O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Наша цель — найти угол ∠C₁OC.

1. Рассмотрим прямоугольный треугольник AA₁B. Так как AB = AA₁, то треугольник AA₁B является равнобедренным и прямоугольным. Следовательно, углы при основании равны 45°:

∠A₁BA = ∠AA₁B = 45°

2. Поскольку O — центр окружности, описанной около треугольника ABC, то OC = OB = R (радиус окружности). Значит, треугольник BOC — равнобедренный.

3. Заметим, что A₁B₁C₁C — прямоугольник (так как призма прямая, и основания — треугольники). Тогда B₁C₁ || BC, и углы между ними равны. А так как B₁C₁ || BC, то ∠C₁B₁A₁ = ∠CBA.

4. Угол ∠C₁B₁A₁ является углом между хордой B₁C₁ и касательной к окружности в точке B₁. Этот угол равен половине дуги B₁C₁:

∠C₁B₁A₁ = ½ ∪B₁C₁

5. Угол ∠BOC, центральный угол, опирающийся на дугу BC, равен самой дуге BC:

∠BOC = ∪BC

6. Поскольку ∠C₁B₁A₁ = ∠CBA, а ∠CBA = ½ ∪BC, то ∠C₁B₁A₁ = ½ ∠BOC.

7. Теперь рассмотрим треугольник C₁OC. В этом треугольнике OC₁ = OC = R, значит, он тоже равнобедренный. Угол ∠OC₁C = 90°, так как CC₁ перпендикулярен плоскости ABC.

8. Тогда ∠C₁OC = 90° - ∠COC₁.

9. Заметим, что ∠COC₁ = ∠BOC - ∠BOC₁.

10. Зная, что ∠BOC = 2∠C₁B₁A₁ и что ∠BOC₁ = ∠AA₁B = 45°, получаем:

∠COC₁ = 2∠C₁B₁A₁ - 45°

11. Подставляем это в выражение для ∠C₁OC:

∠C₁OC = 90° - (2∠C₁B₁A₁ - 45°) = 135° - 2∠C₁B₁A₁

12. Так как ∠C₁B₁A₁ = 45°, то:

∠C₁OC = 135° - 2 * 45° = 135° - 90° = 45°

Таким образом, угол ∠C₁OC равен 45°.