10. Дано: АВ 1α, CD = 10√2, ∠CAD = 90°, AB = 8, AC = AD. Найдите BD.

Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Он прямоугольный и равнобедренный, так как $$AC = AD$$, $$\angle CAD = 90^\circ$$. Тогда по теореме Пифагора:

$$CD^2 = AC^2 + AD^2$$

Так как $$AC = AD$$, то

$$CD^2 = 2AC^2$$

$$AC = \sqrt{\frac{CD^2}{2}} = \frac{CD}{\sqrt{2}} = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 10$$

Рассмотрим треугольник $$ABC$$. Он прямоугольный, так как $$AB \perp \alpha$$. Тогда по теореме Пифагора:

$$BC^2 = AC^2 + AB^2$$

$$BC = \sqrt{AC^2 + AB^2} = \sqrt{10^2 + 8^2} = \sqrt{100 + 64} = \sqrt{164} = 2\sqrt{41}$$

Так как $$AC = AD$$, то $$BC = BD$$.

Ответ: $$BD = 2\sqrt{41}$$