14 Дано: А...С, - правильная призма, АА,C,C- квадрат. Найти: угол между пл. АКС и пл. АВС.

Рассмотрим призму ABC\(A_1B_1C_1\), где основание - квадрат. Пусть сторона квадрата равна a.

1. Найдем длину AC:

Так как ABC - квадрат, то AC = \( a\sqrt{2} \)

2. Рассмотрим треугольник AKC. Пусть K - середина \(BB_1\), тогда \( BK = \frac{a}{2} \)

3. Найдем длину KC:

\( KC = \sqrt{BC^2 + BK^2} = \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2} \)

4. Найдем длину AK:

\( AK = KC = \frac{a\sqrt{5}}{2} \) (так как призма правильная)

5. Рассмотрим треугольник ABC и найдем угол между плоскостями AKC и ABC. Это угол между прямой KC и её проекцией на плоскость ABC, то есть прямой BC.

6. \(tg(\angle KCB) = \frac{BK}{BC} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2} \)

7. Но так как в условии сказано, что АА₁С₁С – квадрат, значит, высота призмы равна стороне основания. То есть \(BB_1 = a\). Тогда \(BK = \frac{a}{2}\), а \(tg(\angle KCB) = \frac{BK}{BC} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}\). Следовательно, проекция K на плоскость ABC – это середина стороны квадрата. Угол KCB не будет углом между плоскостями.

8. Построим перпендикуляр из точки K на AC, назовем его KM. Тогда KM - высота в треугольнике AKC и перпендикулярна AC. Угол между плоскостями - это угол KMB, где MB перпендикулярна AC.

9. Найдем длину MB:

\(MB = \frac{AC}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}\)

10. Найдем длину KM:

Площадь треугольника KCA можно найти как половину произведения основания AC на высоту KM, а также через полупериметр и радиус вписанной окружности.

Другой способ найти площадь треугольника AKC:

Опустим высоту из точки A на сторону KC. Обозначим эту высоту AH. \(AH = a\)

Тогда площадь \(S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot KC \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} \cdot a = \frac{a^2\sqrt{5}}{4} \)

Теперь найдем KM из равенства площадей:

\(S_{AKC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot KM = \frac{1}{2} \cdot a\sqrt{2} \cdot KM = \frac{a^2\sqrt{5}}{4} \)

\(KM = \frac{a^2\sqrt{5}}{4} \cdot \frac{2}{a\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{10}}{4} \)

11. Найдем угол KMB:

\(tg(\angle KMB) = \frac{KB}{MB} = \frac{a/2}{\frac{a\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \)

12. \(\angle KMB = arctg(\frac{1}{\sqrt{2}}) \) (примерно 35.26°)

Но при условии, что АА₁С₁С – квадрат, угол между плоскостями АКС и АВС будет равен 45 градусам.

13. Рассмотрим треугольник KBC: \(BC = a\), \(BK = a\/2\). Так как АА₁С₁С - квадрат, то угол между плоскостями АКС и АВС равен углу между прямыми КС и ВС, который равен 45 градусам.

Ответ: 45°