Дано: ABCD — ромб. Точки N, M, K, P лежат соответственно на сторонах AB, AD, BC, CD; на рисунке отмечено AN = BK = CP = MD. Доказать: MNPK — параллелограмм.

По данным, указанным на рисунке, утверждение в общем случае неверно: равенства AN = BK = CP = MD недостаточно, чтобы четырёхугольник MNPK был параллелограммом.

Контрпример. Пусть ABCD — квадрат со стороной 1:

\(A(0,0),\ B(1,0),\ C(1,1),\ D(0,1)\).

Возьмём равные отмеченным отрезки длиной \(\frac13\). Тогда:

• \(N\left(\frac13,0\right)\), поскольку \(AN=\frac13\);
• \(M\left(0,\frac23\right)\), поскольку \(MD=\frac13\);
• \(K\left(1,\frac13\right)\), поскольку \(BK=\frac13\);
• \(P\left(\frac23,1\right)\), поскольку \(CP=\frac13\).

Диагонали четырёхугольника MNPK — это \(MP\) и \(NK\). Их середины:

\[O_1=\left(\frac13,\frac56\right),\qquad O_2=\left(\frac23,\frac16\right).\]

Так как \(O_1\ne O_2\), диагонали не делятся пополам. Следовательно, MNPK не является параллелограммом.

Вероятно, на рисунке пропущено дополнительное условие или неверно указаны равенства отрезков. В таком виде доказать требуемое утверждение невозможно.

Ответ: утверждение по данным рисунка неверно; необходимы дополнительные условия.