Дано: ABCD — ромб. Доказать: ∠MBD = ∠DBP.

Дано: ABCD — ромб; BM ⟂ AD; BP ⟂ CD.

Доказать: ∠MBD = ∠DBP.

Так как ABCD — ромб, то его противоположные стороны параллельны: AD ∥ BC и AB ∥ CD.

Поскольку BM ⟂ AD, а AD ∥ BC, то BM ⟂ BC. Следовательно, ∠MBC = 90°.

Также BP ⟂ CD, а AB ∥ CD, значит BP ⟂ AB. Следовательно, ∠ABP = 90°.

Рассмотрим треугольники ABM и BCP. В ромбе противоположные стороны равны: AB = BC. Кроме того, ∠BAM = ∠BCP, так как AM лежит на прямой AD, а CP лежит на прямой CD, и противоположные стороны ромба попарно параллельны. Треугольники имеют равные гипотенузы и равный острый угол, поэтому они равны.

Отсюда соответствующие углы при вершине B равны: ∠ABM = ∠CBP.

Диагональ BD делит угол ABC на углы ABD и DBC. Вычитая равные углы из равных прямых углов, получаем:

∠MBD = 90° − ∠ABD,

∠DBP = 90° − ∠DBC.

В ромбе диагональ BD делит противоположные углы пополам, поэтому ∠ABD = ∠DBC. Следовательно,

∠MBD = 90° − ∠ABD = 90° − ∠DBC = ∠DBP.

Ответ: ∠MBD = ∠DBP.