Дано: AB - общая касательная и две окружности радиусами 25 см и 49 см, A и B - точки касания. Найти: AB.

Решение:

Эта задача решается с помощью теоремы Пифагора. Для этого построим прямоугольный треугольник. Опустим перпендикуляры из центров окружностей O₁ и O₂ на касательную AB. Пусть радиусы окружностей равны \( r_1 = 25 \) см и \( r_2 = 49 \) см.

Проведем линию, соединяющую центры окружностей \( O_1O_2 \). Также проведем линию, параллельную AB, из точки \( O_1 \) к радиусу \( O_2B \). Образуется прямоугольный треугольник, где:

• Гипотенуза равна расстоянию между центрами окружностей \( O_1O_2 \).
• Один катет равен разности радиусов \( |r_2 - r_1| = |49 - 25| = 24 \) см.
• Другой катет равен искомому отрезку касательной \( AB \).

В данном случае, поскольку окружности касаются друг друга, расстояние между центрами \( O_1O_2 \) равно сумме радиусов \( r_1 + r_2 = 25 + 49 = 74 \) см.

По теореме Пифагора:

\[ {AB}^2 + ({r_2} - {r_1})^2 = ({r_1} + {r_2})^2 \]

\[ {AB}^2 + (49 - 25)^2 = (25 + 49)^2 \]

\[ {AB}^2 + {24}^2 = {74}^2 \]

\[ {AB}^2 + 576 = 5476 \]

\[ {AB}^2 = 5476 - 576 \]

\[ {AB}^2 = 4900 \]

\[ AB = \sqrt{4900} \]

\[ AB = 70 \text{ см} \]

Ответ: AB = 70 см.