Дано: AB = CD, ∠ABC = 65°, ∠ADC = 45°, ∠AOC = 110°. Найти: ∠C; доказать: ΔABO = ΔDCO.

Так как точки A, O, D лежат на одной прямой, то лучи AO и DO — противоположные. Поэтому

\(\angle ADO = \angle ADC = 45^\circ\).

В треугольнике AOC сумма углов равна \(180^\circ\):

\[\angle ACO = 180^\circ - \angle AOC - \angle ADO = 180^\circ - 110^\circ - 45^\circ = 25^\circ.\]

Так как точки B, O, C лежат на одной прямой, угол \(ACO\) совпадает с искомым углом \(ACB\). Следовательно,

\[\angle C = \angle ACB = 25^\circ.\]

Однако доказать равенство треугольников \(ABO\) и \(DCO\) по указанным данным нельзя: равенство \(AB = CD\) и вертикальность углов \(\angle AOB = \angle DOC\) дают только одну пару равных сторон и одну пару равных углов. Для признака равенства треугольников необходимы ещё дополнительные данные о других углах или сторонах.

Ответ: \(\angle C = 25^\circ\). Равенство треугольников по записанным данным не доказывается.