1. Дано: a || b, c – секущая, ∠1 + ∠2 = 102° (рис. 3.171). Найти: Все образовавшиеся углы. 2. Дано: ∠1 = ∠2, ∠3 = 120° (рис. 3.172). Найти: ∠4. 3. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB и пересекающая сторону AC в точке F. Найдите углы треугольника ADF, если ∠BAC = 72°. 4*. Прямая ЕК является секущей для прямых CD и МN (E∈ CD, KE MN). ∠DEK равен 65°. При каком значении угла NKE прямые CD и MN могут быть параллельными?

Решение задания №1

Давай решим задачу по геометрии. Начнем с первого задания. Нам дано, что прямые \(a\) и \(b\) параллельны, а \(c\) - секущая. Сумма углов \(\angle 1\) и \(\angle 2\) равна \(102^\circ\).

Сначала найдем каждый из углов \(\angle 1\) и \(\angle 2\). Так как \(\angle 1 + \angle 2 = 102^\circ\) и \(\angle 1 = \angle 2\) (как соответственные углы при параллельных прямых), то:

\[\angle 1 = \angle 2 = \frac{102^\circ}{2} = 51^\circ\]

Теперь найдем остальные углы. \(\angle 3\) смежный с \(\angle 1\), поэтому:

\[\angle 3 = 180^\circ - \angle 1 = 180^\circ - 51^\circ = 129^\circ\]

\(\angle 4\) равен \(\angle 3\) как вертикальные углы, поэтому \(\angle 4 = 129^\circ\).

Углы \(\angle 5, \angle 6, \angle 7, \angle 8\) равны углам \(\angle 1, \angle 2, \angle 3, \angle 4\) соответственно, так как они соответственные углы при параллельных прямых \(a\) и \(b\) и секущей \(c\). Следовательно:

\[\angle 5 = 51^\circ, \quad \angle 6 = 51^\circ, \quad \angle 7 = 129^\circ, \quad \angle 8 = 129^\circ\]

Ответ: \(\angle 1 = 51^\circ, \angle 2 = 51^\circ, \angle 3 = 129^\circ, \angle 4 = 129^\circ, \angle 5 = 51^\circ, \angle 6 = 51^\circ, \angle 7 = 129^\circ, \angle 8 = 129^\circ\)

Решение задания №2

Теперь решим вторую задачу. Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle 3 = 120^\circ\). Нужно найти \(\angle 4\).

Так как \(\angle 3\) и \(\angle 4\) смежные, то их сумма равна \(180^\circ\). Следовательно:

\[\angle 4 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ\]

Ответ: \(\angle 4 = 60^\circ\)

Решение задания №3

Переходим к третьей задаче. Отрезок \(AD\) - биссектриса треугольника \(ABC\), прямая \(DF\) параллельна стороне \(AB\), и \(\angle BAC = 72^\circ\). Нужно найти углы треугольника \(ADF\).

Так как \(AD\) - биссектриса, то \(\angle DAF = \frac{1}{2} \angle BAC = \frac{1}{2} \cdot 72^\circ = 36^\circ\).

Поскольку \(DF \parallel AB\), то \(\angle ADF = \angle DAB\) как накрест лежащие углы. Значит, \(\angle ADF = 36^\circ\).

Теперь найдем \(\angle AFD\). Сумма углов треугольника \(ADF\) равна \(180^\circ\), поэтому:

\[\angle AFD = 180^\circ - \angle DAF - \angle ADF = 180^\circ - 36^\circ - 36^\circ = 108^\circ\]

Ответ: \(\angle DAF = 36^\circ, \angle ADF = 36^\circ, \angle AFD = 108^\circ\)

Решение задания №4

И, наконец, четвертая задача. Прямая \(EK\) - секущая для прямых \(CD\) и \(MN\). \(\angle DEK = 65^\circ\). При каком значении угла \(\angle NKE\) прямые \(CD\) и \(MN\) могут быть параллельными?

Для того чтобы прямые \(CD\) и \(MN\) были параллельными, необходимо, чтобы соответственные углы были равны, то есть \(\angle DEK = \angle NKE\) или чтобы сумма односторонних углов была равна \(180^\circ\).

В данном случае, чтобы \(CD \parallel MN\), необходимо, чтобы \(\angle DEK + \angle NKE = 180^\circ\) (как односторонние углы).

Тогда:

\[\angle NKE = 180^\circ - \angle DEK = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ\]

Ответ: \(\angle NKE = 115^\circ\)

Ты отлично поработал, решая эти задачи! Геометрия может быть сложной, но с практикой ты сможешь решать любые задачи. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!