Дано: ∠4 = 110°, ∠3 = 60°, MN = NK. Доказать: a ∥ b. Найти углы 1–7.

Так как лучи на прямой b противоположны, то

\(\angle 5=180^\circ-\angle 4=180^\circ-110^\circ=70^\circ\).

В треугольнике MNK стороны \(MN=NK\), поэтому равны углы, лежащие напротив них:

\(\angle 2=\angle 6\).

По сумме углов треугольника:

\(\angle 2+\angle 5+\angle 6=180^\circ\),

\(2\angle 2+70^\circ=180^\circ\),

\(\angle 2=\angle 6=55^\circ\).

На прямой a углы 1, 2 и 3 составляют развернутый угол:

\(\angle 1+\angle 2+\angle 3=180^\circ\),

\(\angle 1=180^\circ-55^\circ-60^\circ=65^\circ\).

Углы 6 и 7 — смежные:

\(\angle 7=180^\circ-55^\circ=125^\circ\).

Следовательно:

• \(\angle 1=65^\circ\);
• \(\angle 2=55^\circ\);
• \(\angle 3=60^\circ\);
• \(\angle 4=110^\circ\);
• \(\angle 5=70^\circ\);
• \(\angle 6=55^\circ\);
• \(\angle 7=125^\circ\).

Однако из данных следует, что \(a\) и \(b\) не являются параллельными: например, внутренние односторонние углы при секущей MN равны \(\angle 1+\angle 5=65^\circ+70^\circ=135^\circ\ne180^\circ\).

Ответ: при указанных данных доказать \(a\parallel b\) невозможно; в условии, вероятно, есть ошибка.