1. Дано: ∠A = ∠B, CO = 4, DO = 6. АО = 5 (рис. 7.54). Найти: а) ОВ; б) AC: BD; B) SAOC: SBOD

а) Рассмотрим треугольники $$\triangle AOC$$ и $$\triangle BOD$$.

$$\angle A = \angle B$$ (по условию).

$$\angle AOC = \angle BOD$$ (как вертикальные).

Следовательно, $$\triangle AOC \sim \triangle BOD$$ (по двум углам).

Из подобия треугольников следует:

$$\frac{AO}{BO} = \frac{CO}{DO}$$ $$\frac{5}{BO} = \frac{4}{6}$$ $$BO = \frac{5 \cdot 6}{4} = \frac{30}{4} = 7.5$$

б) Из подобия треугольников следует:

$$\frac{AC}{BD} = \frac{AO}{BO}$$ $$\frac{AC}{BD} = \frac{5}{7.5} = \frac{50}{75} = \frac{2}{3}$$

в) Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

$$\frac{S_{AOC}}{S_{BOD}} = \left(\frac{AO}{BO}\right)^2 = \left(\frac{5}{7.5}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$

Ответ: а) OB = 7.5; б) AC : BD = 2:3; в) S_AOC : S_BOD = 4:9