2. Дано: ΔABC, AB = BC = 10, AC = 12, BD ⊥(ABC), BD = 6. Найдите SADC.

Ответ: 36

1. Шаг 1: Найдем высоту AM треугольника ABC

   Так как треугольник ABC равнобедренный (AB = BC), высота AM также является медианой. Значит, M - середина AC, и AM перпендикулярна AC.

   Тогда MC = AC / 2 = 12 / 2 = 6.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник AMC. По теореме Пифагора:

   \[ AM = \sqrt{AB^2 - MC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]

2. Шаг 2: Обоснование перпендикулярности DM к AC

   Так как BD перпендикулярна плоскости ABC, она перпендикулярна любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку D. Следовательно, BD перпендикулярна AC.

   AM также перпендикулярна AC (по построению высоты в треугольнике ABC).

   Таким образом, AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым BD и AM в плоскости ADM. Отсюда следует, что AC перпендикулярна плоскости ADM, и, следовательно, DM перпендикулярна AC.

3. Шаг 3: Найдем DM

   Рассмотрим прямоугольный треугольник BDM (так как BD перпендикулярна плоскости ABC, угол BDM прямой).

   По теореме Пифагора:

   \[ DM = \sqrt{BD^2 + BM^2} \]

   Где BM можно найти из треугольника ABM (или CBM, так как они равны):

   \[ BM = \sqrt{AB^2 - AM^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6 \]

   Тогда

   \[ DM = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \]

4. Шаг 4: Найдем площадь треугольника ADC

   Площадь треугольника ADC равна половине произведения основания AC на высоту DM, проведенную к этому основанию:

   \[ S_{ADC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot DM = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36 \]

Ответ: 36