2. Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle 3 = 140^\circ\). Найти: \(\angle 4\). 3. Отрезок АК – биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если \(\angle CAE = 78^\circ\). №4. Прямая m пересекает параллельные прямые с и b, при этом образовалось односторонние углы, градусные меры которых относятся как 1:8. Найти эти углы.

Давай разберем по порядку каждое задание.

2. Дано: \(\angle 1 = \angle 2\), \(\angle 3 = 140^\circ\). Найти: \(\angle 4\).

Поскольку углы 1 и 2 равны, прямая b параллельна прямой a (по признаку равенства соответственных углов при параллельных прямых). Угол 3 и угол 4 являются смежными, а значит, их сумма равна 180 градусам.

Следовательно, \[\angle 4 = 180^\circ - \angle 3 = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ\]

Ответ: 40°

---

3. Отрезок АК – биссектриса треугольника САЕ. Через точку К проведена прямая, параллельная стороне СА и пересекающая сторону АЕ в точке N. Найдите углы треугольника AKN, если \(\angle CAE = 78^\circ\).

Давай разберем решение этой задачи. Поскольку АК - биссектриса угла САЕ, то угол CAK равен углу KAE, и оба они равны половине угла CAE.

\[\angle CAK = \angle KAE = \frac{1}{2} \angle CAE = \frac{1}{2} \cdot 78^\circ = 39^\circ\]

Теперь рассмотрим треугольник AKN. Прямая KN параллельна стороне AC, следовательно, угол AKN равен углу CAK как соответственные углы при параллельных прямых AC и KN и секущей AK.

\[\angle AKN = \angle CAK = 39^\circ\]

Также, угол KAN равен углу KAE, так как это один и тот же угол.

\[\angle KAN = \angle KAE = 39^\circ\]

Теперь найдем угол ANK в треугольнике AKN. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам.

\[\angle ANK = 180^\circ - \angle AKN - \angle KAN = 180^\circ - 39^\circ - 39^\circ = 102^\circ\]

Таким образом, углы треугольника AKN равны 39°, 39° и 102°.

Ответ: Углы треугольника AKN равны 39°, 39° и 102°.

---

№4. Прямая m пересекает параллельные прямые с и b, при этом образовалось односторонние углы, градусные меры которых относятся как 1:8. Найти эти углы.

Пусть один угол равен x, тогда другой угол равен 8x. Поскольку углы односторонние, их сумма равна 180 градусам.

\[x + 8x = 180^\circ\]

\[9x = 180^\circ\]

\[x = \frac{180^\circ}{9} = 20^\circ\]

Тогда другой угол равен:

\[8x = 8 \cdot 20^\circ = 160^\circ\]

Ответ: Углы равны 20° и 160°.