1. Дана возрастающая арифметическая прогрессия (а), в которой аза₃ = 48; 2 = 2. a а) Составьте формулу п-го члена данной прогрессии. б) Определите, сколько в данной прогрессии членов, модуль которых не превосходит 10. 2. Арифметическая прогрессия задана формулой xn = 5n-2. а) Найдите сумму членов данной прогрессии с 4-го по 11-й включительно. б) Какое наименьшее число членов данной прогрес- сии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была больше 360? 3. Дана последовательность двузначных натуральных чисел, кратных 5. а) Составьте формулу суммы первых п членов данной последовательности. б) Найдите сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 5. 4. Арифметическая прогрессия содержит 12 членов. Сумма членов с четными номерами на 60 больше сум- мы членов с нечетными номерами. Найдите разность прогрессии.

1. Арифметическая прогрессия

Дано: возрастающая арифметическая прогрессия \((a_n)\), в которой \(a_2 a_5 = 48\) и \(\frac{a_2}{a_4} = 2\).

а) Составить формулу n-го члена данной прогрессии.

б) Определить, сколько в данной прогрессии членов, модуль которых не превосходит 10.

Решение:

Из условия \(\frac{a_2}{a_4} = 2\) следует, что \(a_2 = 2a_4\). Также известно, что \(a_n = a_1 + (n-1)d\), где \(d\) - разность арифметической прогрессии.

Тогда \(a_2 = a_1 + d\) и \(a_4 = a_1 + 3d\). Подставляя в первое уравнение, получаем \(a_1 + d = 2(a_1 + 3d)\), откуда \(a_1 + d = 2a_1 + 6d\), или \(a_1 = -5d\).

Из условия \(a_2 a_5 = 48\) следует, что \((a_1 + d)(a_1 + 4d) = 48\). Подставляя \(a_1 = -5d\), получаем \((-5d + d)(-5d + 4d) = 48\), или \((-4d)(-d) = 48\), откуда \(4d^2 = 48\), или \(d^2 = 12\). Так как прогрессия возрастающая, то \(d = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\).

Тогда \(a_1 = -5d = -10\sqrt{3}\).

Формула n-го члена: \(a_n = -10\sqrt{3} + (n-1)2\sqrt{3} = 2\sqrt{3}(n - 6)\).

Чтобы найти количество членов, модуль которых не превосходит 10, нужно решить неравенство \(|2\sqrt{3}(n - 6)| \le 10\), или \(|n - 6| \le \frac{10}{2\sqrt{3}} = \frac{5}{\sqrt{3}}\).

Тогда \(-\frac{5}{\sqrt{3}} \le n - 6 \le \frac{5}{\sqrt{3}}\), или \(6 - \frac{5}{\sqrt{3}} \le n \le 6 + \frac{5}{\sqrt{3}}\).

Примерно \(6 - 2.89 \le n \le 6 + 2.89\), или \(3.11 \le n \le 8.89\). Так как n - целое число, то \(n = 4, 5, 6, 7, 8\). Всего 5 членов.

Ответ:

а) \(a_n = 2\sqrt{3}(n - 6)\)

б) 5 членов

2. Арифметическая прогрессия

Дана арифметическая прогрессия \(x_n = 5n - 2\).

а) Найти сумму членов данной прогрессии с 4-го по 11-й включительно.

б) Какое наименьшее число членов данной прогрессии, начиная с первого, нужно взять, чтобы их сумма была больше 360?

Решение:

а) Сумма членов арифметической прогрессии с n-го по m-й член включительно находится по формуле: \[S_{n \to m} = \frac{(x_n + x_m)(m - n + 1)}{2}\] В данном случае, нужно найти сумму с 4-го по 11-й члены. Сначала найдем значения 4-го и 11-го членов: \[x_4 = 5(4) - 2 = 20 - 2 = 18\] \[x_{11} = 5(11) - 2 = 55 - 2 = 53\] Теперь найдем сумму: \[S_{4 \to 11} = \frac{(18 + 53)(11 - 4 + 1)}{2} = \frac{71 \cdot 8}{2} = 71 \cdot 4 = 284\]

б) Сумма n первых членов арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{(2x_1 + (n-1)d)n}{2}\] В данном случае, \(x_1 = 5(1) - 2 = 3\), \(d = 5\), тогда: \[S_n = \frac{(2(3) + (n-1)5)n}{2} = \frac{(6 + 5n - 5)n}{2} = \frac{(5n + 1)n}{2}\] Нам нужно найти наименьшее n, при котором \(S_n > 360\), то есть: \[\frac{(5n + 1)n}{2} > 360\] \[(5n + 1)n > 720\] \[5n^2 + n - 720 > 0\] Решим квадратное уравнение \(5n^2 + n - 720 = 0\): \[n = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(5)(-720)}}{2(5)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 14400}}{10} = \frac{-1 \pm \sqrt{14401}}{10}\] \[n \approx \frac{-1 \pm 120}{10}\] Нам нужен только положительный корень, поэтому \(n \approx \frac{119}{10} \approx 11.9\). Следовательно, наименьшее целое число n, при котором \(S_n > 360\), это 12.

Ответ:

а) 284

б) 12

3. Последовательность двузначных чисел, кратных 5

Дана последовательность двузначных натуральных чисел, кратных 5.

а) Составить формулу суммы первых n членов данной последовательности.

б) Найти сумму двузначных натуральных чисел, не кратных 5.

Решение:

а) Двузначные числа, кратные 5: 10, 15, 20, ..., 95. Это арифметическая прогрессия, где \(a_1 = 10\), \(d = 5\), \(a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (n-1)5 = 5n + 5\). Сумма n первых членов арифметической прогрессии: \[S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} = \frac{(10 + 5n + 5)n}{2} = \frac{(5n + 15)n}{2} = \frac{5n^2 + 15n}{2}\]

б) Сумма всех двузначных чисел: от 10 до 99. Сумма всех чисел от 1 до 99: \(\frac{99(100)}{2} = 4950\). Сумма всех чисел от 1 до 9: \(\frac{9(10)}{2} = 45\). Сумма всех двузначных чисел: \(4950 - 45 = 4905\).

Сумма всех двузначных чисел, кратных 5: 10 + 15 + 20 + ... + 95. Их количество: \(\frac{95 - 10}{5} + 1 = 17 + 1 = 18\). Тогда \(S_{18} = \frac{(10 + 95)18}{2} = \frac{105 \cdot 18}{2} = 105 \cdot 9 = 945\). Сумма двузначных чисел, не кратных 5: \(4905 - 945 = 3960\).

Ответ:

а) \(S_n = \frac{5n^2 + 15n}{2}\)

б) 3960

4. Арифметическая прогрессия

Арифметическая прогрессия содержит 12 членов. Сумма членов с четными номерами на 60 больше суммы членов с нечетными номерами. Найти разность прогрессии.

Решение:

Пусть арифметическая прогрессия имеет вид \(a_1, a_2, a_3, ..., a_{12}\). Сумма членов с четными номерами: \[S_{чет} = a_2 + a_4 + a_6 + a_8 + a_{10} + a_{12}\] Сумма членов с нечетными номерами: \[S_{нечет} = a_1 + a_3 + a_5 + a_7 + a_9 + a_{11}\] Разность между суммами: \(S_{чет} - S_{нечет} = 60\). \[(a_2 - a_1) + (a_4 - a_3) + (a_6 - a_5) + (a_8 - a_7) + (a_{10} - a_9) + (a_{12} - a_{11}) = 60\] Так как \(a_2 - a_1 = d, a_4 - a_3 = d, ...\), то: \[6d = 60\] \[d = 10\]

Ответ: 10