Дана треугольная пирамида DABC. Известно, что ребро DA перпендикулярно плоскости АВС, треугольник АВС — равносторонний, AD = 3 и АВ = 30. Вычисли тангенс двугранного угла при ребре BC.

Решение:

Для вычисления тангенса двугранного угла при ребре BC, нам нужно найти угол между двумя перпендикулярными плоскостями, которые образуют этот угол.

1. Определение перпендикулярных плоскостей:
   • Плоскость основания ABC.
   • Плоскость грани DBC.
   Двугранный угол при ребре BC — это угол между этими двумя плоскостями.
2. Нахождение линии наклона:
   • Так как DA перпендикулярно плоскости ABC, то DA перпендикулярно любой прямой в этой плоскости, проходящей через точку A.
   • Пусть AM — высота равностороннего треугольника ABC. Так как треугольник равносторонний, AM также является медианой и биссектрисой.
   • Проведем через точку A прямую AK, перпендикулярную ребру BC. В равностороннем треугольнике ABC, высота AM уже перпендикулярна BC.
   • Теперь рассмотрим плоскость DBC. Чтобы найти двугранный угол, нам нужно найти линию, которая перпендикулярна ребру BC в плоскости DBC.
   • Поскольку AM перпендикулярно BC, а DA перпендикулярно плоскости ABC, то DA перпендикулярно AM.
   • В плоскости DBC, нам нужно найти высоту, опущенную из вершины D на ребро BC.
   • В равностороннем треугольнике ABC, высота AM имеет длину: \( AM = AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \).
   • Так как DA перпендикулярно плоскости ABC, то DA перпендикулярно AM.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник DAM.
   • Чтобы найти двугранный угол, нам нужен угол между двумя линиями, перпендикулярными ребру BC. Одна такая линия — это AM (в плоскости ABC). Нам нужно найти линию в плоскости DBC, перпендикулярную BC.
   • Давайте переформулируем: двугранный угол при ребре BC — это угол между плоскостью ABC и плоскостью DBC.
   • Так как DA перпендикулярно плоскости ABC, мы можем использовать теорему о трех перпендикулярах.
   • Пусть M — середина BC. Тогда AM перпендикулярно BC.
   • Так как DA перпендикулярно плоскости ABC, то DA перпендикулярно AM.
   • Рассмотрим треугольник DBC. Чтобы найти угол между плоскостями, нам нужно построить перпендикуляры к ребру BC из одной точки.
   • В равностороннем треугольнике ABC, AM является высотой и перпендикулярна BC.
   • В плоскости DBC, если мы проведем высоту из D на BC, пусть это будет DM'.
   • Однако, более простой способ: угол между плоскостями ABC и DBC равен углу между DA и проекцией DA на плоскость DBC. Это неверно.
   • Правильный подход: угол между плоскостями ABC и DBC равен углу между AM и DM, где M — середина BC.
   • 1. Находим длину AM:
   • В равностороннем треугольнике ABC, AM — высота.
   • \( AM = AB \cdot \sin(60^{\circ}) = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3} \).
   • 2. Находим длину DM:
   • Рассмотрим треугольник DBC. Нам нужно найти высоту DM, где M — середина BC.
   • Поскольку DA перпендикулярно плоскости ABC, то DA перпендикулярно DB и DC? Нет.
   • DA перпендикулярно AB, AC, BC.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник DAB. $$DB^2 = DA^2 + AB^2 = 3^2 + 30^2 = 9 + 900 = 909$$. $$DB = √{909}$$.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник DAC. $$DC^2 = DA^2 + AC^2 = 3^2 + 30^2 = 9 + 900 = 909$$. $$DC = √{909}$$.
   • Таким образом, треугольник DBC — равнобедренный с $$DB = DC = √{909}$$.
   • DM — высота равнобедренного треугольника DBC к основанию BC.
   • В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому M — середина BC.
   • \( BM = MC = \frac{BC}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
   • В прямоугольном треугольнике DMB:
   • \( DM^2 + MB^2 = DB^2 \)
   • \( DM^2 + 15^2 = 909 \)
   • \( DM^2 + 225 = 909 \)
   • \( DM^2 = 909 - 225 = 684 \)
   • \( DM = √{684} \).
   • 3. Вычисляем тангенс двугранного угла:
   • Двугранный угол между плоскостями ABC и DBC равен углу AMD.
   • Рассмотрим прямоугольный треугольник AMD (поскольку DA перпендикулярно плоскости ABC, то DA перпендикулярно AM, и AM является частью плоскости ABC).

   • В прямоугольном треугольнике AMD:

     • Противолежащий катет (относительно угла AMD) = AD = 3.
     • Прилежащий катет (относительно угла AMD) = AM = \( 15\sqrt{3} \).

     Тангенс угла AMD равен:

     \( \tan(\angle AMD) = \frac{AD}{AM} = \frac{3}{15\sqrt{3}} = \frac{1}{5\sqrt{3}} \)

     Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{3} \):

     \( \tan(\angle AMD) = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{5\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{15} \).

Финальный ответ:

Ответ: \frac{\sqrt{3}}{15}