5. Дана трапеция CDEF, найдите основание CF и среднюю линию трапеции МК, если DO=9, DE=15, OF=12.

Рассмотрим треугольники DOE и FOK.

Угол DOE = углу FOK как вертикальные.

Угол DEO = углу KFO как накрест лежащие углы при параллельных прямых EF и CD и секущей DF.

Следовательно, треугольник DOE подобен треугольнику FOK по двум углам.

Составим отношение сходственных сторон:

$$\frac{DO}{OF} = \frac{DE}{FK}$$ $$\frac{9}{12} = \frac{15}{FK}$$ $$FK = \frac{12 \cdot 15}{9} = 20$$

$$CF = CO + OF$$

$$\frac{DO}{OF} = \frac{CO}{OE}$$ $$\frac{9}{12} = \frac{CO}{OE}$$ $$\frac{9}{12} = \frac{CO}{DE - DO}$$ $$\frac{9}{12} = \frac{CO}{15 - 9}$$ $$\frac{9}{12} = \frac{CO}{6}$$ $$CO = \frac{9 \cdot 6}{12} = 4,5$$

$$CF = 4,5 + 12 = 16,5$$

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

$$MK = \frac{1}{2}(DE + FK)$$ $$MK = \frac{1}{2}(15 + 20)$$ $$MK = 17,5$$

Ответ: CF = 16,5; MK = 17,5