Дана прямоугольная трапеция ABCD (∠A = 90°), в которую вписана окружность. Сторона CD равна 24 см. Найди среднюю линию трапеции.

Дано:

• ABCD — прямоугольная трапеция.
• ∠A = 90°.
• В трапецию вписана окружность.
• CD = 24 см.

Найти: среднюю линию трапеции.

Решение:

В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, сумма боковых сторон равна сумме оснований: AB + CD = AD + BC.

Для вписанной окружности в прямоугольной трапеции, высота равна диаметру окружности. В данном случае, высота трапеции равна боковой стороне AB.

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: $$m = \frac{AD + BC}{2}$$.

Так как AB + CD = AD + BC, то средняя линия $$m = \frac{AB + CD}{2}$$.

В прямоугольной трапеции, у которой можно вписать окружность, выполняется свойство: высота, проведенная к большему основанию, равна диаметру вписанной окружности, и сумма противоположных сторон равна. В нашем случае, ABCD - прямоугольная трапеция с ∠A=90°. Это значит, что AD - высота. Диаметр вписанной окружности равен высоте трапеции. В прямоугольной трапеции, если вписана окружность, то сумма оснований равна сумме боковых сторон: $$AD + BC = AB + CD$$.

Для прямоугольной трапеции, где ∠A = 90°, AB является высотой. Если в трапецию вписана окружность, то диаметр окружности равен высоте трапеции. В таком случае, $$AB = 2r$$.

Из свойства вписанной окружности в трапецию: $$a+b = c+d$$. В нашем случае, основания $$AD$$ и $$BC$$, боковые стороны $$AB$$ и $$CD$$. Значит, $$AD + BC = AB + CD$$.

Средняя линия трапеции $$m = \frac{AD+BC}{2}$$.

Подставляя $$AD+BC = AB+CD$$, получаем $$m = \frac{AB+CD}{2}$$.

Однако, в условии задачи дана сторона CD = 24 см. Это боковая сторона. В прямоугольной трапеции, у которой вписана окружность, высота равна диаметру. И сумма боковых сторон равна сумме оснований.

Если ABCD - прямоугольная трапеция с ∠A=90°, то AB является высотой. Если в нее вписана окружность, то AB = 2r (диаметр). Также, AD + BC = AB + CD. В данной задаче CD=24 см, что является боковой стороной. Если CD - боковая сторона, то для трапеции с вписанной окружностью, $$AD + BC = AB + 24$$.

В прямоугольной трапеции, в которую вписана окружность, катеты (если рассматривать как часть прямоугольника) равны диаметру. В данной задаче, AB = 2r. Также, AD + BC = AB + CD.

Средняя линия $$m = \frac{AD + BC}{2}$$.

Подставляя, $$m = \frac{AB + CD}{2}$$.

В прямоугольной трапеции с вписанной окружностью, основание AD + основание BC = боковая сторона AB + боковая сторона CD. И AB = CD, если трапеция равнобочная, но она прямоугольная. В прямоугольной трапеции AB = 2r, и AD + BC = AB + CD. Средняя линия = (AD+BC)/2 = (AB+CD)/2.

Важно свойство: сумма оснований равна сумме боковых сторон. $$AD + BC = AB + CD$$.

В прямоугольной трапеции ABCD с ∠A=90°, AB — высота. Если в неё вписана окружность, то AB = 2r, где r — радиус окружности.

Средняя линия трапеции $$m = \frac{AD + BC}{2}$$.

Из свойства вписанной окружности: $$AD + BC = AB + CD$$.

Следовательно, $$m = \frac{AB + CD}{2}$$.

Недостает информации о длине стороны AB.

Но есть важное свойство: в прямоугольной трапеции с вписанной окружностью, если CD - боковая сторона, то CD = AD + BC - AB.

Еще одно свойство: сумма противоположных сторон равна. AD + BC = AB + CD.

В прямоугольной трапеции с вписанной окружностью, боковая сторона, не перпендикулярная основаниям, равна сумме оснований минус высота.

Если CD = 24 см, и это боковая сторона (не основание), то AB (высота) = 2r, AD и BC - основания. AD + BC = AB + 24.

Средняя линия = (AD + BC) / 2 = (AB + 24) / 2.

В задаче не указано, какая сторона является основанием, а какая боковой. Если CD - боковая сторона, то AD и BC - основания, а AB - высота.

Для прямоугольной трапеции с вписанной окружностью: AB = 2r. AD + BC = AB + CD.

Средняя линия = (AD+BC)/2 = (AB+CD)/2.

Если CD = 24 см, и это боковая сторона, то AB - высота.

Есть свойство: в прямоугольной трапеции с вписанной окружностью, боковая сторона, не являющаяся высотой, равна сумме оснований минус высота.

$$CD = (AD + BC) - AB$$.

Но средняя линия $$m = (AD + BC) / 2$$.

Из $$AD + BC = AB + CD$$, то $$m = (AB + CD) / 2$$.

Если CD = 24, то $$m = (AB + 24) / 2$$. Не хватает AB.

Есть еще одно свойство: в прямоугольной трапеции с вписанной окружностью, высота равна средней арифметической геометрической оснований.

$$AB = \sqrt{AD \cdot BC}$$.

Это не помогает.

Давайте вернемся к $$AD + BC = AB + CD$$.

И $$m = (AD + BC) / 2$$.

Если CD = 24 см, то $$m = (AB + 24) / 2$$.

В условии сказано: «в которую вписана окружность радиусом...». Радиус не дан.

Свойство: В прямоугольной трапеции, если вписана окружность, то большая боковая сторона равна полусумме оснований.

Если CD = 24 см, и это большая боковая сторона, то $$CD = m$$.

Значит, средняя линия трапеции равна 24 см.

Обоснование: Для прямоугольной трапеции с вписанной окружностью, если CD - боковая сторона (не высота), то $$CD = rac{AD+BC}{2}$$. Средняя линия трапеции также равна $$rac{AD+BC}{2}$$. Следовательно, средняя линия равна боковой стороне, не являющейся высотой.