Дана последовательность an = (-1)^n+1. a1 = 1, a10 = -1, a25 = 1, a100 = -1. Если n увеличивается, то есть ли точка, к которой все an приближаются? Да или Нет.

Решение:

Дана последовательность \( a_n = (-1)^{n+1} \). Давайте рассмотрим, как ведут себя члены последовательности при увеличении \( n \).

Если \( n \) — нечётное число, то \( n+1 \) — чётное, и \( a_n = (-1)^{\text{чётное}} = 1 \).

Если \( n \) — чётное число, то \( n+1 \) — нечётное, и \( a_n = (-1)^{\text{нечётное}} = -1 \).

Таким образом, последовательность принимает только два значения: 1 и -1. Она колеблется между этими двумя значениями и не приближается ни к какой одной определённой точке.

Например:

• \( a_1 = (-1)^{1+1} = (-1)^2 = 1 \)
• \( a_2 = (-1)^{2+1} = (-1)^3 = -1 \)
• \( a_3 = (-1)^{3+1} = (-1)^4 = 1 \)
• \( a_{10} = (-1)^{10+1} = (-1)^{11} = -1 \)
• \( a_{25} = (-1)^{25+1} = (-1)^{26} = 1 \)
• \( a_{100} = (-1)^{100+1} = (-1)^{101} = -1 \)

Значения последовательности чередуются между 1 и -1, поэтому она не сходится ни к какому числу.

Ответ: Нет