Дана последовательность $$a_n = \frac{1}{n+1}$$. Если $$n$$ увеличивается, то есть ли точка, к которой $$a_n$$ приближается?

Решение:

Последовательность задана формулой \( a_n = \frac{1}{n+1} \). Нам нужно определить, существует ли предел этой последовательности при \( n \to \infty \).

Рассмотрим значения нескольких первых членов последовательности:

• \( a_1 = \frac{1}{1+1} = \frac{1}{2} \)
• \( a_3 = \frac{1}{3+1} = \frac{1}{4} \)
• \( a_7 = \frac{1}{7+1} = \frac{1}{8} \)
• \( a_{15} = \frac{1}{15+1} = \frac{1}{16} \)

Видно, что при увеличении \( n \), значение \( a_n \) уменьшается и приближается к нулю.

Чтобы формально определить предел, рассмотрим:

\[ \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \]\[ \text{Так как при } n \to \infty, \text{ знаменатель } (n+1) \to \infty, \text{ то дробь } \frac{1}{n+1} \to 0. \]\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} = 0 \]"

Следовательно, последовательность приближается к точке 0.

Ответ: Да