3. Дана окружность с центром O и радиусом 8 и точка A (см. рис. 153). Прямые AC и AB касаются окружности в точках C и B. Найдите OA, если угол BAO = 45°.

Так как AB является касательной к окружности, то OB перпендикулярна AB. Следовательно, треугольник OBA – прямоугольный. Угол BAO равен 45°. В прямоугольном треугольнике OBA: $$\angle BOA = 90° - \angle BAO = 90° - 45° = 45°$$ Таким образом, треугольник OBA – равнобедренный, значит, OB = AB = 8 см. По теореме Пифагора: $$OA^2 = OB^2 + AB^2 = 8^2 + 8^2 = 64 + 64 = 128$$ $$OA = \sqrt{128} = \sqrt{64 * 2} = 8\sqrt{2}$$ Ответ: OA = $$8\sqrt{2}$$ см