Дана матрица А = (1 0 1 / 2 3 5 / 0 4 8). Чему равен определитель данной матрицы? Будет ли он совпадать с определителем транспонированной матрицы?

Решение:

Определитель матрицы \(A\) вычисляется как:

\[ \det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 5 \\ 4 & 8 \end{pmatrix} - 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 0 & 8 \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} \]\[ \det(A) = 1 \cdot (3 \cdot 8 - 5 \cdot 4) - 0 + 1 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 0) \]\[ \det(A) = 1 \cdot (24 - 20) + 1 \cdot (8 - 0) \]\[ \det(A) = 4 + 8 = 12 \]

Транспонированная матрица \(A^T\) имеет вид:

\[ A^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 1 & 5 & 8 \end{pmatrix} \]

Определитель транспонированной матрицы \(\det(A^T)\) равен:

\[ \det(A^T) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 8 \end{pmatrix} - 2 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ 1 & 8 \end{pmatrix} + 0 \cdot \det \begin{pmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 5 \end{pmatrix} \]\[ \det(A^T) = 1 \cdot (3 \cdot 8 - 4 \cdot 5) - 2 \cdot (0 \cdot 8 - 4 \cdot 1) + 0 \]\[ \det(A^T) = 1 \cdot (24 - 20) - 2 \cdot (0 - 4) \]\[ \det(A^T) = 4 - 2 \cdot (-4) = 4 + 8 = 12 \]

Известно, что определитель матрицы всегда равен определителю её транспонированной матрицы, то есть \(\det(A) = \det(A^T)\).

Ответ: Определитель равен 12, будет совпадать.