17.21 Дана конечная геометрическая прогрессия (6ₙ). Найдите п, если: а) b₁= ⅓, q = ⅓, bₙ = 729; б) b₁ = 256, q = ½, bₙ = 2; в) b₁ = 2,5, q = ⅕, bₙ = 4⋅10⁻³; г) б₁ = 1/343, q = -7, bₙ = -2401.

Решение задания 17.21

Давай решим каждое уравнение по очереди. Наша задача - найти n, зная формулу n-го члена геометрической прогрессии:

\[ b_n = b_1 \cdot q^{n-1} \]

где:

• \( b_n \) - n-й член прогрессии,
• \( b_1 \) - первый член прогрессии,
• \( q \) - знаменатель прогрессии,
• \( n \) - номер члена прогрессии.

а) \( b_1 = \frac{1}{3}, q = \frac{1}{3}, b_n = \frac{1}{729} \)

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{1}{729} = \frac{1}{3} \cdot \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \]

Умножим обе стороны уравнения на 3:

\[ \frac{1}{243} = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \]

Представим \( \frac{1}{243} \) как степень \( \frac{1}{3} \):

\[ \left(\frac{1}{3}\right)^5 = \left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} \]

Так как основания равны, приравняем показатели:

\[ 5 = n - 1 \]

Решим уравнение относительно n:

\[ n = 5 + 1 \] \[ n = 6 \]

б) \( b_1 = 256, q = \frac{1}{2}, b_n = 2 \)

Подставим известные значения в формулу:

\[ 2 = 256 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

Разделим обе стороны уравнения на 256:

\[ \frac{2}{256} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \] \[ \frac{1}{128} = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

Представим \( \frac{1}{128} \) как степень \( \frac{1}{2} \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^7 = \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1} \]

Так как основания равны, приравняем показатели:

\[ 7 = n - 1 \]

Решим уравнение относительно n:

\[ n = 7 + 1 \] \[ n = 8 \]

в) \( b_1 = 2.5, q = \frac{1}{5}, b_n = 4 \cdot 10^{-3} \)

Переведем десятичную дробь в обыкновенную: \( b_1 = \frac{5}{2} \), \( b_n = \frac{4}{1000} = \frac{1}{250} \)

Подставим известные значения в формулу:

\[ \frac{1}{250} = \frac{5}{2} \cdot \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \]

Умножим обе стороны уравнения на \( \frac{2}{5} \):

\[ \frac{2}{1250} = \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \] \[ \frac{1}{625} = \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \]

Представим \( \frac{1}{625} \) как степень \( \frac{1}{5} \):

\[ \left(\frac{1}{5}\right)^4 = \left(\frac{1}{5}\right)^{n-1} \]

Так как основания равны, приравняем показатели:

\[ 4 = n - 1 \]

Решим уравнение относительно n:

\[ n = 4 + 1 \] \[ n = 5 \]

г) \( b_1 = \frac{1}{343}, q = -7, b_n = -2401 \)

Подставим известные значения в формулу:

\[ -2401 = \frac{1}{343} \cdot (-7)^{n-1} \]

Умножим обе стороны уравнения на 343:

\[ -2401 \cdot 343 = (-7)^{n-1} \]

Заметим, что \( 2401 = 7^4 \) и \( 343 = 7^3 \), тогда:

\[ -7^4 \cdot 7^3 = (-7)^{n-1} \] \[ -7^7 = (-7)^{n-1} \]

Чтобы равенство выполнялось, \( (-7)^7 = (-7)^{n-1} \), следовательно:

\[ 7 = n - 1 \]

Решим уравнение относительно n:

\[ n = 7 + 1 \] \[ n = 8 \]

Ответ: а) n = 6; б) n = 8; в) n = 5; г) n = 8

Отлично! Ты справился с этим заданием. Уверен, что и дальше у тебя все получится! Главное - не бойся трудностей и всегда иди вперед!