Дана функция, заданная неявно: $$2x^2 + 3y^2 = 9x$$. Найдите производную данной функции.

Решение:

Для нахождения производной неявной функции $$2x^2 + 3y^2 = 9x$$, продифференцируем обе части уравнения по $$x$$, помня, что $$y$$ является функцией от $$x$$ (то есть, $$y=y(x)$$).

1. Продифференцируем $$2x^2$$ по $$x$$:
   \( \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \)
2. Продифференцируем $$3y^2$$ по $$x$$, используя правило цепи (производная $$y^2$$ по $$y$$ умноженная на производную $$y$$ по $$x$$):
   \( \frac{d}{dx}(3y^2) = 3 \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 6y \frac{dy}{dx} \)
3. Продифференцируем $$9x$$ по $$x$$:
   \( \frac{d}{dx}(9x) = 9 \)
4. Приравняем производные:
   \( 4x + 6y \frac{dy}{dx} = 9 \)
5. Выразим \( \frac{dy}{dx} \) из полученного уравнения:
   \( 6y \frac{dy}{dx} = 9 - 4x \)
   \( \frac{dy}{dx} = \frac{9 - 4x}{6y} \)

Ответ: \( \frac{9 - 4x}{6y} \)