Дана функция y = \sqrt{16 - x^2}. Является ли данная функция ограниченной?

Решение:

Для того чтобы определить, является ли функция ограниченной, рассмотрим её область определения и область значений.

1. Область определения: Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным:
   \( 16 - x^2 \ge 0 \)
   \( x^2 \le 16 \)
   \( -4 \le x \le 4 \).
   Таким образом, область определения функции — отрезок [–4, 4].
2. Область значений: Так как \( y = \sqrt{16 - x^2} \), то \( y \) всегда неотрицательно. Максимальное значение \( y \) достигается при \( x=0 \), когда \( y = \sqrt{16} = 4 \). Минимальное значение \( y \) достигается при \( x = \pm 4 \), когда \( y = \sqrt{16-16} = 0 \).
   Следовательно, область значений функции — отрезок [0, 4].
3. Ограниченность: Функция ограничена сверху числом 4 и снизу числом 0.

Ответ: Данная функция ограничена сверху, так как 16 - x² ≤ 16 и √16 - x² ≤ 4, и снизу, так как √16 - x² ≥ 0.