Дана функция y = f(x), где f(x) = { x + 1, если −3 ≤ x ≤ 0; x² − 4x + 1, если 0 < x ≤ 2; 2/x, если x > 2. а) Укажите D(f). б) Вычислите: f(−5), f(−2), f(0), f(2), f(4). в) Постройте график функции. г) Найдите E(f).

а) Область определения

Функция задана на отрезке \([-3;0]\), на интервале \((0;2]\) и при \(x>2\). Поэтому

\[D(f)=[-3;0]\cup(0;2]\cup(2;+\infty)=[-3;+\infty).\]

б) Значения функции

1. \(f(-5)\) не существует, так как \(-5\notin D(f)\).
2. Так как \(-3\le -2\le0\), то \(f(-2)=-2+1=-1\).
3. Так как \(-3\le0\le0\), то \(f(0)=0+1=1\).
4. Так как \(0<2\le2\), то \(f(2)=2^2-4\cdot2+1=4-8+1=-3\).
5. Так как \(4>2\), то \(f(4)=\dfrac{2}{4}=\dfrac12\).

в) График функции

г) Область значений

На первом участке \(y=x+1\), поэтому получаем \([-2;1]\). На втором участке парабола принимает значения от \(-3\) до почти \(1\), причём \(-3\) достигается при \(x=2\). На третьем участке \(y=\dfrac2x\), где \(x>2\), поэтому \(0<y<1\).

Объединяя промежутки, получаем

\[E(f)=[-3;1].\]

Ответ: а) \(D(f)=[-3;+\infty)\); б) \(f(-5)\) не существует, \(f(-2)=-1\), \(f(0)=1\), \(f(2)=-3\), \(f(4)=\dfrac12\); г) \(E(f)=[-3;1]\).