Дана функция f(x) = |3 + 9/(x + 3)|. 1) Постройте график функции y = f(x). 2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Решение:

Смотри, давай разберемся с этой функцией!

1. Строим график функции y = |3 + 9/(x + 3)|.

Для начала рассмотрим функцию без модуля: y = 3 + 9/(x + 3).

• Это гипербола, смещенная по оси x на -3 и по оси y на 3.

Теперь берем модуль: y = |3 + 9/(x + 3)|.

• Все значения функции, которые были ниже оси x, отражаются вверх.

2. Анализируем, при каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение.

Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая y = c касается графика функции в одной точке.

• Это происходит в вершине модуля (там, где функция «переворачивается») и когда прямая проходит через асимптоту функции.

В данном случае асимптота y = 3.

• Найдем вершину модуля:

\[3 + \frac{9}{x + 3} = 0\]

\[\frac{9}{x + 3} = -3\]

\[9 = -3(x + 3)\]

\[9 = -3x - 9\]

\[3x = -18\]

\[x = -6\]

Тогда значение функции в этой точке: f(-6) = |3 + 9/(-6 + 3)| = |3 - 3| = 0.

• Теперь рассмотрим случай, когда y = c касается асимптоты функции.

В данном случае это прямая y = 6.

Ответ: Уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение при c = 0 и c = 6.