15. Дана функция f(x)=\frac{|x-2|}{|x^2-2x|}. 1) Постройте график функции у = f (x). 2) При каких значениях к уравнение f(x) = k имеет ровно одно решение?

1) Построение графика функции y = f(x)

Разберемся с функцией:

• Шаг 1: Упрощаем выражение для функции.

Заметим, что \[f(x) = \frac{|x-2|}{|x(x-2)|} = \frac{|x-2|}{|x| \cdot |x-2|}\]

При x ≠ 2, можно сократить на |x-2|, тогда получим:

\[f(x) = \frac{1}{|x|}\]

Но x ≠ 0 и x ≠ 2.

• Шаг 2: Определяем функцию кусочно.

Тогда функция f(x) имеет вид:

\[f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x}, & x > 0, x
e 2 \\ -\frac{1}{x}, & x < 0 \end{cases}\]

• Шаг 3: Строим график функции.

График состоит из двух частей гиперболы: y = 1/x при x > 0 (кроме x = 2) и y = -1/x при x < 0.

Важно: В точке x = 2 график имеет разрыв.

2) При каких значениях k уравнение f(x) = k имеет ровно одно решение?

• Шаг 1: Анализируем уравнение f(x) = k.

Уравнение f(x) = k имеет вид:

\[\frac{1}{|x|} = k\]

или

\[|x| = \frac{1}{k}\]

• Шаг 2: Определяем условия для одного решения.

Уравнение |x| = 1/k имеет одно решение, когда k > 0, и 1/k = 0, что невозможно.

Однако, нам нужно учесть, что x ≠ 2. То есть |2| = 1/k не должно выполняться.

Значит, 2 = 1/k, откуда k = 1/2. То есть k ≠ 1/2.

• Шаг 3: Записываем ответ.

Таким образом, уравнение имеет ровно одно решение при k > 0 и k ≠ 1/2.

Ответ: k > 0, k ≠ 1/2