Дана функция f(x) = (sin(3x^2)) / (x* tg(2x)). Чему равен предел этой функции при x→0? Для решения необходим первый замечательный предел.

Решение:

Для нахождения предела функции \( f(x) = \frac{\sin(3x^2)}{x \cdot \operatorname{tg}(2x)} \) при \( x \to 0 \) воспользуемся первым замечательным пределом \( \lim_{y → 0} \frac{\sin y}{y} = 1 \) и следствием из него \( \lim_{y → 0} \frac{\operatorname{tg} y}{y} = 1 \).

Преобразуем выражение, умножив и разделив числитель и знаменатель на соответствующие величины:

• Умножим и разделим числитель на \( 3x^2 \): \( \sin(3x^2) = \frac{\sin(3x^2)}{3x^2} \cdot 3x^2 \)
• Умножим и разделим знаменатель на \( 2x \): \( x \cdot \operatorname{tg}(2x) = x \cdot \frac{\operatorname{tg}(2x)}{2x} \cdot 2x = 2x^2 \cdot \frac{\operatorname{tg}(2x)}{2x} \)

Теперь подставим это обратно в исходное выражение:

\[ \lim_{x → 0} \frac{\frac{\sin(3x^2)}{3x^2} \cdot 3x^2}{2x^2 \cdot \frac{\operatorname{tg}(2x)}{2x}} = \lim_{x → 0} \frac{\frac{\sin(3x^2)}{3x^2} \cdot 3}{\frac{\operatorname{tg}(2x)}{2x} \cdot 2} \]

При \( x \to 0 \) имеем \( 3x^2 \to 0 \) и \( 2x \to 0 \). Используя замечательные пределы:

\[ \frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2} = \frac{3}{2} \]

Ответ: a. 3/2