Дана функция f (x)=1+|6/(x+1)| 1) Постройте график функции у = f(x). 2) При каких значениях с уравнение f (x) = с имеет ровно одно решение?

Дана функция:

\[ f(x) = 1 + \left| \frac{6}{x+1} \right| \]

1) Построение графика функции y = f(x)

Смотри, тут все просто: сначала строим график функции \( y = \frac{1}{x} \), затем выполняем преобразования.

• Шаг 1: Строим график функции \( y = \frac{1}{x} \). Это гипербола с вертикальной асимптотой x = 0 и горизонтальной асимптотой y = 0.
• Шаг 2: Строим график функции \( y = \frac{6}{x} \). Это растяжение графика \( y = \frac{1}{x} \) вдоль оси y в 6 раз.
• Шаг 3: Строим график функции \( y = \frac{6}{x+1} \). Это сдвиг графика \( y = \frac{6}{x} \) влево на 1 единицу. Вертикальная асимптота становится x = -1.
• Шаг 4: Строим график функции \( y = \left| \frac{6}{x+1} \right| \). Это отражение нижней части графика \( y = \frac{6}{x+1} \) относительно оси x. Теперь вся функция находится выше оси x.
• Шаг 5: Строим график функции \( y = 1 + \left| \frac{6}{x+1} \right| \). Это сдвиг графика \( y = \left| \frac{6}{x+1} \right| \) вверх на 1 единицу. Горизонтальная асимптота становится y = 1.

2) При каких значениях c уравнение f(x) = c имеет ровно одно решение?

Разбираемся:

Уравнение \( f(x) = c \) имеет ровно одно решение, когда горизонтальная прямая \( y = c \) пересекает график функции \( f(x) \) ровно в одной точке.

• Если \( c = 1 \), то прямая \( y = 1 \) является горизонтальной асимптотой графика функции, и других точек пересечения нет.
• Если \( c > 1 \), то прямая \( y = c \) пересекает график функции в двух точках.

Ответ: c = 1