Дан цилиндр, у которого радиус основания равен 6 см, а площадь боковой поверхности 48псм². Цилиндр вписан в конус, причем верхнее основание цилиндра делит высоту конуса в отношении 2: 1 считая от вершины. Найдите площадь боковой поверхности конуса. В ответе укажите площадь деленную на П.

Давай решим эту задачу по геометрии. Нам нужно найти площадь боковой поверхности конуса, зная параметры вписанного цилиндра и отношение, в котором верхнее основание цилиндра делит высоту конуса.
Сначала найдем образующую цилиндра. Затем найдем высоту и образующую конуса. После этого вычислим площадь боковой поверхности конуса.

• Дано:
  • Радиус основания цилиндра \( r = 6 \) см
  • Площадь боковой поверхности цилиндра \( S_{бок.цил.} = 48\pi \) см²
  • Отношение высоты конуса, в котором верхнее основание цилиндра делит высоту конуса, \( 2:1 \)
• Найти: Площадь боковой поверхности конуса, деленную на \(\pi\).

Решение:

1. Выразим площадь боковой поверхности цилиндра: \[ S_{бок.цил.} = 2\pi r h \] где \( h \) – высота цилиндра. Подставим известные значения: \[ 48\pi = 2\pi \cdot 6 \cdot h \] Отсюда найдем высоту цилиндра: \[ h = \frac{48\pi}{2\pi \cdot 6} = \frac{48}{12} = 4 \] см
2. Так как верхнее основание цилиндра делит высоту конуса в отношении \( 2:1 \), то высота конуса \( H \) равна: \[ H = h + \frac{h}{2} = 4 + \frac{4}{2} = 4 + 2 = 6 \] см
3. Радиус основания конуса обозначим как \( R \). Треугольники, образованные высотой конуса и радиусами, подобны. Следовательно, можем записать отношение: \[ \frac{R}{r} = \frac{H}{H - h} \] \[ \frac{R}{6} = \frac{6}{6 - 4} = \frac{6}{2} = 3 \] Отсюда найдем радиус основания конуса: \[ R = 6 \cdot 3 = 18 \] см
4. Теперь найдем образующую конуса \( l \) по теореме Пифагора: \[ l = \sqrt{R^2 + H^2} = \sqrt{18^2 + 6^2} = \sqrt{324 + 36} = \sqrt{360} = 6\sqrt{10} \] см
5. Площадь боковой поверхности конуса \( S_{бок.кон.} \) равна: \[ S_{бок.кон.} = \pi R l = \pi \cdot 18 \cdot 6\sqrt{10} = 108\pi\sqrt{10} \] см²
6. По условию задачи, нам нужно указать площадь деленную на \(\pi\): \[ \frac{S_{бок.кон.}}{\pi} = \frac{108\pi\sqrt{10}}{\pi} = 108\sqrt{10} \]

Ответ: 108√10

Отлично! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!