Дан треугольник, стороны которого равны 8 см, 5 см и 7 см. Найдите периметр и площадь треугольника, подобного данному, если коэффициент подобия равен $$\frac{1}{4}$$.

Для начала найдем периметр и площадь заданного треугольника со сторонами 8 см, 5 см и 7 см.

1. Найдем периметр:

Периметр треугольника равен сумме длин его сторон:

$$P = 8 + 5 + 7 = 20 \text{ см}$$

2. Найдем площадь:

Для нахождения площади используем формулу Герона:

$$S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$, где $$p$$ - полупериметр, $$a, b, c$$ - стороны треугольника.

Полупериметр:

$$p = \frac{P}{2} = \frac{20}{2} = 10 \text{ см}$$

Подставляем значения в формулу Герона:

$$S = \sqrt{10(10-8)(10-5)(10-7)} = \sqrt{10 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 3} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3} \text{ см}^2$$

Теперь найдем периметр и площадь подобного треугольника с коэффициентом подобия $$k = \frac{1}{4}$$.

3. Найдем периметр подобного треугольника:

Периметр подобного треугольника равен периметру исходного треугольника, умноженному на коэффициент подобия:

$$P_{подобный} = P \cdot k = 20 \cdot \frac{1}{4} = 5 \text{ см}$$

4. Найдем площадь подобного треугольника:

Площадь подобного треугольника равна площади исходного треугольника, умноженной на квадрат коэффициента подобия:

$$S_{подобный} = S \cdot k^2 = 10\sqrt{3} \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^2 = 10\sqrt{3} \cdot \frac{1}{16} = \frac{5\sqrt{3}}{8} \text{ см}^2$$

Ответ:

Периметр подобного треугольника: 5 см

Площадь подобного треугольника: $$\frac{5\sqrt{3}}{8}$$ см$$^2$$