Дан равнобедренный треугольник АВС с боковыми сторонами АВ = ВС. На основании расположены точки D и Е так, что AD = EC, ∠CЕВ = 99°. Определи ∠EDB.

Решение:

Дано равнобедренный треугольник ABC, где AB = BC. Точки D и E расположены на основании AC.

Известно, что AD = EC и ∠CEB = 99°.

1. Найдём ∠AEB:

• Угол ∠AEB и угол ∠CEB являются смежными, их сумма равна 180°.
• ∠AEB = 180° - ∠CEB = 180° - 99° = 81°.

2. Рассмотрим ∆ABC:

• Так как AB = BC, то ∆ABC — равнобедренный.
• Углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

3. Рассмотрим ∆ADE и ∆CDE:

Поскольку AD = EC и AB = BC, а также ∠BAC = ∠BCA, то треугольники ∆ABD и ∆CBE равны по первому признаку равенства треугольников (две стороны и угол между ними). Это не совсем верно, используем другой подход.

3. Сравним ∆ABE и ∆CBD:

• AB = BC (по условию).
• AD = EC (по условию).
• ∠BAC = ∠BCA (углы при основании равнобедренного ∆ABC).
• Рассмотрим ∆ADC: ∠DAC = ∠DCA.
• Рассмотрим ∆ABE: AB, AE = AC - EC, ∠BAE = ∠BAC.
• Рассмотрим ∆CBD: CB = AB, CD = AC - AD, ∠BCD = ∠BCA.
• Так как AD = EC, то AE = AC - EC = AC - AD = CD.
• Теперь рассмотрим ∆ABE и ∆CBD. У них AB = CB, AE = CD, ∠BAE = ∠BCD. Следовательно, ∆ABE = ∆CBD (по двум сторонам и углу между ними).
• Из равенства треугольников следует, что BE = BD.

4. Рассмотрим ∆EBD:

• Треугольник ∆EBD является равнобедренным, так как BE = BD.
• Углы при основании равны: ∠BED = ∠BDE.
• Нам известен угол ∠AEB = 81°.
• Угол ∠BED равен 81° (так как точки A, D, E, C лежат на одной прямой, и ∠AEB и ∠BED — это один и тот же угол).
• Сумма углов в ∆EBD равна 180°.
• ∠EBD + ∠BED + ∠BDE = 180°
• ∠EBD + 81° + 81° = 180°
• ∠EBD = 180° - 162° = 18°
• Так как ∠BED = ∠BDE, то ∠BDE = 81°.

Примечание: Угол ∠CEB = 99° — это внешний угол при вершине E для ∆AEB. Внутренний угол ∠AEB = 180° - 99° = 81°. Угол ∠EDB является углом равнобедренного треугольника ∆EBD, где BE = BD. Угол при вершине B равен ∠EBD. Углы при основании ∠BED и ∠BDE равны.

5. Определим ∠ABC:

• В равнобедренном ∆ABC, ∠BAC = ∠BCA.
• В ∆CBE: ∠BCE = ∠BCA, ∠CEB = 99°.
• ∠CBE = 180° - ∠BCE - ∠CEB.
• Так как ∠BAC = ∠BCA, то ∠CBE = 180° - ∠BAC - 99°.
• В ∆ABE: ∠BAE = ∠BAC, ∠AEB = 81°.
• ∠ABE = 180° - ∠BAE - ∠AEB = 180° - ∠BAC - 81°.
• ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC.
• ∠ABC = (180° - ∠BAC - 81°) + (180° - ∠BAC - 99°)
• ∠ABC = 360° - 2 ∠BAC - 180° = 180° - 2 ∠BAC.
• Но 180° - 2 ∠BAC — это и есть ∠ABC.
• В равнобедренном ∆ABC, ∠BAC = ∠BCA = α. Тогда ∠ABC = 180° - 2α.
• Рассмотрим ∆CBE. ∠BCE = α, ∠CEB = 99°.
• ∠CBE = 180° - α - 99° = 81° - α.
• Рассмотрим ∆ABE. ∠BAE = α, ∠AEB = 81°.
• ∠ABE = 180° - α - 81° = 99° - α.
• ∠ABC = ∠ABE + ∠CBE = (99° - α) + (81° - α) = 180° - 2α.
• Это совпадает с ∠ABC.
• Мы получили, что BE = BD.
• Значит, ∆EBD — равнобедренный.
• ∠BED = 81°.
• ∠BDE = ∠BED = 81°.

Ответ: 81°