Контрольные задания > Дан равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB = BC. На основании расположены точки D и E так, что AD = EC, ∠CEB = 132°. Определи ∠EDB.
Вопрос:

Дан равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB = BC. На основании расположены точки D и E так, что AD = EC, ∠CEB = 132°. Определи ∠EDB.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Решение задачи:

Дано:

  • Треугольник ABC — равнобедренный, AB = BC.
  • D и E — точки на основании AC.
  • AD = EC.
  • ∠CEB = 132°.

Найти: ∠EDB.

Решение:

  1. Так как ∠CEB = 132° (тупой угол), то точка E лежит между C и D, а луч EB находится внутри ∠ABC.
  2. Рассмотрим ∠CEB. Его смежный угол ∠AEB = 180° - 132° = 48°.
  3. Рассмотрим ∠AEB. Его смежный угол ∠DEC = 180° - 48° = 132°.
  4. В треугольнике ABC углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.
  5. Рассмотрим ∠CEB. Это внешний угол для ∠AEB.
  6. В ∠ABC AB=BC, значит ∠BAC = ∠BCA. Обозначим эти углы как α.
  7. В ∠CEB: ∠CEB = ∠EBC + ∠ECB.
  8. 132° = ∠EBC + α.
  9. ∠EBC = 132° - α.
  10. В ∠AEB: ∠AEB = ∠EAB + ∠EBA.
  11. 48° = α + ∠EBA.
  12. ∠EBA = 48° - α.
  13. ∠ABC = ∠EBC + ∠EBA = (132° - α) + (48° - α) = 180° - 2α.
  14. Сумма углов треугольника ABC: ∠BAC + ∠BCA + ∠ABC = 180°.
  15. α + α + (180° - 2α) = 180°.
  16. 2α + 180° - 2α = 180°.
  17. 180° = 180°. Это равенство выполняется, но не дает нам значений углов.
  18. Рассмотрим ∠CED. ∠CED = 180° - ∠CEB = 180° - 132° = 48°.
  19. Рассмотрим ∠AEB. ∠AEB = 180° - 132° = 48°.
  20. Из ∠AEB = 48° и ∠BAC = α, ∠EBA = 48° - α.
  21. Рассмотрим ∠CED. ∠CED = 48°.
  22. В ∠ADE: ∠DAE = α, ∠AED = 180° - ∠AEB = 180° - 48° = 132°.
  23. ∠ADE = 180° - α - 132° = 48° - α.
  24. В ∠CDE: ∠DCE = α, ∠CED = 48°.
  25. ∠CDE = 180° - α - 48° = 132° - α.
  26. ∠ADB = 180° - ∠ADE = 180° - (48° - α) = 132° + α.
  27. ∠BDC = 180° - ∠CDE = 180° - (132° - α) = 48° + α.
  28. ∠ADB + ∠BDC = (132° + α) + (48° + α) = 180° + 2α. Это неверно.
  29. Вернемся к ∠AEB = 48°.
  30. Пусть ∠BAC = ∠BCA = α.
  31. ∠ABC = 180° - 2α.
  32. ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = (180° - 2α) - (48° - α) = 132° - α.
  33. Это совпадает с ∠EBC = 132° - α, полученным из ∠CEB.
  34. Рассмотрим ∠CEB = 132°. Этот угол является внешним для ∠ABE.
  35. ∠CEB = ∠EAB + ∠EBA.
  36. 132° = α + ∠EBA.
  37. ∠EBA = 132° - α.
  38. Это противоречит тому, что ∠AEB = 48°.
  39. Проблема в том, что E находится между D и C.
  40. ∠CEB = 132°. Его смежный угол ∠AEB = 180° - 132° = 48°.
  41. Рассмотрим ∠AEB. ∠AEB = ∠DAE + ∠EDA. (внешний угол треугольника ADE).
  42. 48° = α + ∠EDA.
  43. ∠EDA = 48° - α.
  44. ∠EDB = 180° - ∠EDA = 180° - (48° - α) = 132° + α.
  45. Теперь рассмотрим ∠CEB = 132°. Это внешний угол для ∠ABE.
  46. ∠CEB = ∠CAB + ∠CBA.
  47. 132° = α + ∠CBA.
  48. ∠CBA = 132° - α.
  49. ∠ABC = 180° - 2α.
  50. ∠CBA = ∠ABC - ∠ABE = (180° - 2α) - ∠ABE.
  51. 132° - α = 180° - 2α - ∠ABE.
  52. ∠ABE = 180° - 132° - α = 48° - α.
  53. ∠AEB = ∠CAE + ∠CEA.
  54. 48° = α + ∠CEA.
  55. ∠CEA = 48° - α.
  56. ∠AED = 180° - 48° = 132°.
  57. ∠CED = 180° - 132° = 48°.
  58. ∠CEA + ∠CED = (48° - α) + 48° = 96° - α = 132°.
  59. α = 96° - 132° = -36°. Угол не может быть отрицательным.
  60. Ошибка в интерпретации ∠CEB.
  61. ∠CEB = 132°. Этот угол находится снаружи ∠ABC, если E лежит между D и C.
  62. Пусть ∠BAC = ∠BCA = α.
  63. ∠ABC = 180° - 2α.
  64. Так как AD = EC, и AB = BC, то ∆ABD ≅ ∆CBE (по двум сторонам и углу между ними, если бы D и E были на продолжении AC).
  65. Рассмотрим ∠ABC. ∠CEB = 132°.
  66. ∠AEB = 180° - 132° = 48°.
  67. В ∠ABE: ∠BAE = α, ∠AEB = 48°.
  68. ∠ABE = 180° - (α + 48°).
  69. ∠CBE = ∠ABC - ∠ABE = (180° - 2α) - (180° - α - 48°) = 180° - 2α - 180° + α + 48° = 48° - α.
  70. ∠CEB = ∠EBC + ∠ECB = (48° - α) + α = 48°.
  71. Это противоречит условию ∠CEB = 132°.
  72. Значит, точка D находится между A и E.
  73. ∠CEB = 132°.
  74. ∠AEB = 180° - 132° = 48°.
  75. ∠BAC = ∠BCA = α.
  76. В ∠ABE: ∠ABE = 180° - α - 48°.
  77. ∠ABC = 180° - 2α.
  78. ∠EBC = ∠ABC - ∠ABE = (180° - 2α) - (180° - α - 48°) = -2α + α + 48° = 48° - α.
  79. ∠CEB = ∠EBC + ∠ECB = (48° - α) + α = 48°.
  80. Опять противоречие.
  81. ∠CEB = 132°.
  82. ∠AEB = 48°.
  83. ∠BAC = α.
  84. ∠BCA = α.
  85. ∠ABC = 180° - 2α.
  86. Рассмотрим ∆ABD и ∆CBE.
  87. AB = BC (дано).
  88. AD = CE (дано).
  89. ∠BAD = ∠BCE = α.
  90. ∠ABD = 180° - α - ∠ADB.
  91. ∠CBE = 180° - α - ∠CEB.
  92. ∠CEB = 132°.
  93. ∠CBE = 180° - α - 132° = 48° - α.
  94. ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC.
  95. 180° - 2α = ∠ABE + 48° - α.
  96. ∠ABE = 132° - α.
  97. ∠AEB = 180° - (α + 132° - α) = 180° - 132° = 48°.
  98. Это соответствует ∠AEB = 180° - 132°.
  99. ∠AEB = 48°.
  100. ∠BAC = α.
  101. ∠ABE = 180° - 48° - α.
  102. ∠EBC = 48° - α.
  103. ∠ABC = ∠ABE + ∠EBC = (180° - 48° - α) + (48° - α) = 180° - 2α.
  104. Все сходится.
  105. ∠EDB = ?
  106. В ∆ABD: ∠BAD = α. ∠ABD = 180° - 2α - (48° - α) = 132° - α.
  107. ∠ADB = 180° - α - (132° - α) = 180° - α - 132° + α = 48°.
  108. ∠EDB = 180° - ∠ADB = 180° - 48° = 132°.
  109. Проверим ∆CBE. ∠BCE = α. ∠CBE = 48° - α.
  110. ∠CEB = 180° - α - (48° - α) = 180° - 48° = 132°.
  111. Это совпадает с условием.
  112. Таким образом, ∠ADB = 48°.
  113. ∠EDB = 180° - 48° = 132°.

Ответ: 132

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю