Дан прямоугольный параллелепипед ABCDABCD, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами AB = √5 и BC = √11. Известно, что CC₁ = 2 и что точка М является серединой ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми BM и C₁A.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Зададим координаты вершин параллелепипеда. Пусть точка A = (0, 0, 0). Тогда:
   A = (0, 0, 0)
   B = (√5, 0, 0)
   C = (√5, √11, 0)
   D = (0, √11, 0)
   A₁ = (0, 0, 2)
   B₁ = (√5, 0, 2)
   C₁ = (√5, √11, 2)
   D₁ = (0, √11, 2)
2. Шаг 2: Определим координаты точки M, которая является серединой ребра AA₁.
   M = ( (0+0)/2, (0+0)/2, (0+2)/2 ) = (0, 0, 1)
3. Шаг 3: Найдем векторы $$\vec{BM}$$ и $$\vec{C_1A}$$.
   $$\vec{BM}$$ = M - B = (0 - √5, 0 - 0, 1 - 0) = (-√5, 0, 1)
   $$\vec{C_1A}$$ = A - C₁ = (0 - √5, 0 - √11, 0 - 2) = (-√5, -√11, -2)
4. Шаг 4: Вычислим скалярное произведение векторов $$\vec{BM}$$ и $$\vec{C_1A}$$.
   $$\vec{BM} \cdot \vec{C_1A}$$ = (-√5)(-√5) + (0)(-√11) + (1)(-2) = 5 + 0 - 2 = 3
5. Шаг 5: Найдем длины векторов $$\vec{BM}$$ и $$\vec{C_1A}$$.
   |$$\vec{BM}$$| = $$\sqrt{(-√5)^2 + 0^2 + 1^2}$$ = $$\sqrt{5 + 0 + 1}$$ = $$\sqrt{6}$$
   |$$\vec{C_1A}$$| = $$\sqrt{(-√5)^2 + (-√11)^2 + (-2)^2}$$ = $$\sqrt{5 + 11 + 4}$$ = $$\sqrt{20}$$ = $$2√5$$
6. Шаг 6: Найдем косинус угла между векторами по формуле:
   $$\cos(\theta) = \frac{\vec{BM} \cdot \vec{C_1A}}{|\vec{BM}| \cdot |\vec{C_1A}|}$$
   $$\cos(\theta) = \frac{3}{\sqrt{6} \cdot 2√5} = \frac{3}{2√30} = \frac{3√30}{2 \cdot 30} = \frac{√30}{20}$$

Ответ: $$\frac{√30}{20}$$