Дан прямоугольный параллелепипед АBCDA,B,C,D, в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной АВ = 6. Известно, что ВВ₁ = 2√3 и что точка К середина ребра АА. Найдите косинус угла между прямыми В,С и КD.

Решение:

• Пусть \[AB = a = 6\] и \[BB_1 = h = 2\sqrt{3}\].
• Введем систему координат с началом в точке A.
• В этой системе координат точки будут иметь следующие координаты:
  • \[B_1(a; 0; h)\]
  • \[C(a; a; 0)\]
  • \[K(0; 0; \frac{h}{2})\]
  • \[D(0; a; 0)\]
• Найдем координаты векторов \[\vec{B_1C}\] и \[\vec{KD}\]:
  • \[\vec{B_1C} = (a - a; a - 0; 0 - h) = (0; a; -h)\]
  • \[\vec{KD} = (0 - 0; a - 0; 0 - \frac{h}{2}) = (0; a; -\frac{h}{2})\]
• Найдем косинус угла между векторами \[\vec{B_1C}\] и \[\vec{KD}\] по формуле: \[\cos \varphi = \frac{\vec{B_1C} \cdot \vec{KD}}{|\vec{B_1C}| \cdot |\vec{KD}|}\]
• Найдем скалярное произведение векторов: \[\vec{B_1C} \cdot \vec{KD} = 0 \cdot 0 + a \cdot a + (-h) \cdot (-\frac{h}{2}) = a^2 + \frac{h^2}{2} = 6^2 + \frac{(2\sqrt{3})^2}{2} = 36 + \frac{12}{2} = 36 + 6 = 42\]
• Найдем длины векторов:
  • \[|\vec{B_1C}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-h)^2} = \sqrt{a^2 + h^2} = \sqrt{6^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{36 + 12} = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}\]
  • \[|\vec{KD}| = \sqrt{0^2 + a^2 + (-\frac{h}{2})^2} = \sqrt{a^2 + \frac{h^2}{4}} = \sqrt{6^2 + \frac{(2\sqrt{3})^2}{4}} = \sqrt{36 + \frac{12}{4}} = \sqrt{36 + 3} = \sqrt{39}\]
• Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла: \[\cos \varphi = \frac{42}{4\sqrt{3} \cdot \sqrt{39}} = \frac{42}{4\sqrt{117}} = \frac{42}{4 \cdot 3\sqrt{13}} = \frac{42}{12\sqrt{13}} = \frac{7}{2\sqrt{13}} = \frac{7\sqrt{13}}{26}\]

Ответ: \(\frac{7\sqrt{13}}{26}\)