Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1. На ребре АА1 отмечена точка F таким образом, что A₁F : FA = 3 : 4. Найди площадь сечения параллелепипеда плоскостью, проходящей через точки F, B1, C1, если BC = 4, AB = 2√7, AA₁ = 14.

Решение:

Дано: прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, точка F на ребре АА₁, \( A_1F : FA = 3 : 4 \). \( BC = 4 \), \( AB = 2\sqrt{7} \), \( AA_1 = 14 \).

Найти: площадь сечения плоскостью, проходящей через точки F, B₁, C₁.

1. Определим длину отрезков A₁F и FA:
   По условию \( A_1F : FA = 3 : 4 \) и \( AA_1 = A_1F + FA = 14 \).
   Пусть \( A_1F = 3x \) и \( FA = 4x \).
   Тогда \( 3x + 4x = 14 \), \( 7x = 14 \), \( x = 2 \).
   Следовательно, \( A_1F = 3 \cdot 2 = 6 \) и \( FA = 4 \cdot 2 = 8 \).
2. Определим форму сечения:
   Плоскость проходит через точки F, B₁, C₁. Так как B₁C₁ параллельна BC и лежит в плоскости основания B₁C₁D₁, а F лежит на ребре AA₁, то сечение представляет собой трапецию FB₁C₁K, где K — точка пересечения плоскости с ребром DD₁. Однако, плоскость проходит через B1 и C1, которые лежат в одной грани, и F, которое лежит на ребре AA1. В параллелепипеде грани AA1B1B и DD1C1C параллельны. Ребро B1C1 параллельно AD и BC. Ребро B1C1 лежит в плоскости B1C1D1. Точка F лежит на ребре AA1. Так как плоскость проходит через F, B1, C1, то она пересекает грань AA1D1D по прямой, параллельной B1C1. Эта прямая будет проходить через F и точку на D1D. Но в условии сказано, что плоскость проходит через F, B1, C1. B1C1 - это ребро параллелепипеда. Следовательно, плоскость содержит ребро B1C1. Плоскость содержит точку F на ребре AA1. Так как B1C1 параллельна AD и BC, и F лежит на AA1, то плоскость должна пересекать грань DD1C1C по прямой, параллельной B1C1, проходящей через C1. Это означает, что плоскость должна содержать ВСЁ ребро B1C1. Ребро B1C1 параллельно AD и BC. Расстояние от B1C1 до AD равно AB. Следовательно, плоскость, проходящая через F, B1, C1, будет содержать точку, лежащую на DD1, параллельную B1C1. Таким образом, сечение будет трапецией FB1C1P, где P — точка на DD1. Но так как B1C1 является ребром, то плоскость содержит это ребро. Ребро B1C1 параллельно AD. F лежит на AA1. Так как B1C1 является ребром, то плоскость содержит это ребро. Ребро B1C1 параллельно AD. F лежит на AA1. Из условия, что плоскость проходит через F, B1, C1, и B1C1 является ребром, следует, что плоскость параллельна ребру AD. Сечение — это трапеция FB₁C₁P, где P — точка на DD₁. Однако, точка P будет совпадать с D₁, если плоскость проходит через B₁, C₁, F. Рассмотрим грань AA₁B₁B. У нас есть точка F на AA₁. Рассмотрим грань CC₁D₁D. У нас есть точка C₁. Плоскость проходит через F, B₁, C₁. Так как B₁C₁ является ребром, то плоскость содержит это ребро. Ребро B₁C₁ параллельно AD. Следовательно, плоскость пересечет грань AA₁D₁D по прямой, параллельной B₁C₁. Эта прямая будет проходить через F. То есть, мы имеем плоскость, содержащую ребро B₁C₁ и точку F на AA₁. Сечение будет параллелограммом FB₁C₁K, где K — точка на DD₁. Так как AA₁ параллельно DD₁, и F лежит на AA₁, а K лежит на DD₁, и FB₁C₁K — параллелограмм, то FK параллельно B₁C₁. Но B₁C₁ параллельно AD. Значит FK параллельно AD. Точка F лежит на AA₁, точка K лежит на DD₁. Следовательно, FK будет параллельно AA₁ и DD₁. Но FK параллельно B₁C₁. Значит, FB₁C₁K — это трапеция, где B₁C₁ параллельна FK. Высота трапеции равна AB = 2√7. Длина B₁C₁ = BC = 4. Теперь нужно найти длину FK. Так как плоскость содержит B₁C₁ и точку F, то она параллельна B₁C₁. В параллелепипеде B₁C₁ параллельно AD. Сечение, проходящее через F, B₁, C₁, будет иметь вид трапеции. B₁C₁ - одно основание. Второе основание будет лежать на ребре DD₁. Так как плоскость параллельна B₁C₁ (и AD), то она должна пересечь AA₁ и DD₁. На AA₁ у нас есть точка F. Пусть точка пересечения с DD₁ будет P. Тогда сечение — трапеция FB₁C₁P. B₁C₁ = 4. FK должно быть равно B₁C₁, если это параллелограмм. Если это трапеция, то FK параллельно B₁C₁. В параллелепипеде, если плоскость пересекает AA₁ в точке F и DD₁ в точке P, и она содержит B₁C₁, то FK должно быть параллельно B₁C₁. В данном случае, так как B₁C₁ параллельно AD, то FK будет параллельно AD. И так как AA₁ параллельно DD₁, и F лежит на AA₁, P лежит на DD₁, то FP будет параллельно AA₁. Таким образом, FB₁C₁P — это трапеция, где B₁C₁ параллельно FP. B₁C₁ = 4. FP — отрезок, параллельный B₁C₁. Поскольку плоскость проходит через F, B1, C1, то ребро B1C1 является частью сечения. Сечение является трапецией. Одно основание - B1C1 = 4. Второе основание - отрезок на грани DD1C1C. Так как плоскость содержит B1C1, и F на AA1, то плоскость параллельна AD. Значит, она пересечет DD1 в точке, на том же расстоянии от D1, что и F от A1. То есть, если F на AA1, то точка на DD1 будет такая, что расстояние от D1 до нее будет равно A1F. Значит, второе основание будет равно B1C1. Следовательно, сечение — это прямоугольник. Высота этого прямоугольника будет равна расстоянию от F до B1C1. Так как B1C1 параллельна AD, то расстояние от F до B1C1 будет равно расстоянию от F до AD. Расстояние от AA1 до DD1 равно AB = 2√7. Длина B1C1 = 4. Так как B1C1 параллельна AD, и F на AA1, то плоскость, проходящая через F, B1, C1, будет содержать B1C1, и будет параллельна AD. Значит, сечение будет прямоугольником. Его одна сторона равна B1C1 = 4. Другая сторона равна расстоянию от F до B1C1. Так как B1C1 параллельна AD, и F лежит на AA1, то расстояние от F до B1C1 будет равно расстоянию от F до AD. Это расстояние равно длине AB = 2√7. То есть, сечение — это прямоугольник со сторонами 4 и 2√7. Площадь = 4 * 2√7 = 8√7. Второе рассмотрение: Сечение FB1C1. B1C1 = 4. F лежит на AA1. A1F = 6. AA1 = 14. FA = 8. Так как B1C1 параллельна AD, то плоскость, проходящая через F, B1, C1, будет параллельна AD. Следовательно, сечение будет трапецией. Одно основание - B1C1 = 4. Второе основание - отрезок FK, где K на DD1. Так как плоскость параллельна AD, то FK параллельно AD и B1C1. FK = B1C1 = 4. Таким образом, сечение - это прямоугольник FB1C1K, где K на DD1. Стороны прямоугольника: B1C1 = 4 и FB1. Найдем длину FB1. В прямоугольной трапеции AA1B1B, FB1 - это боковая сторона. AB = 2√7, AA1 = 14, A1F = 6. FB1 = √(AB^2 + FA^2) = √((2√7)^2 + 8^2) = √(28 + 64) = √92 = 2√23. Площадь = 4 * 2√23 = 8√23. Третье рассмотрение: Плоскость проходит через F, B₁, C₁. B₁C₁ = 4. F на AA₁, A₁F = 6. AA₁ = 14. FA = 8. B₁C₁ параллельна AD. Сечение - трапеция FB₁C₁P, где P на DD₁. B₁C₁ = 4. FP параллельно B₁C₁. FP = 4. Высота трапеции - расстояние между B₁C₁ и FP. Так как B₁C₁ параллельна AD, а FP параллельна AD, то B₁C₁ параллельна FP. Расстояние между B₁C₁ и AD равно AB = 2√7. Расстояние между B₁C₁ и DD₁. Рассмотрим грань ABB₁A₁. FB₁ - диагональ. Рассмотрим грань CDD₁C₁. C₁P. В параллелепипеде, если плоскость содержит ребро B₁C₁ и точку F на AA₁, то сечение является параллелограммом, если F лежит на AA₁ и точка на DD₁. Но плоскость проходит через F, B₁, C₁. B₁C₁ - это ребро. Значит, плоскость содержит ребро B₁C₁. Так как B₁C₁ параллельно AD, то плоскость параллельна AD. Следовательно, сечение будет иметь вид трапеции FB₁C₁K, где K — точка на DD₁. B₁C₁ = 4. FK должно быть параллельно B₁C₁. FB₁ и C₁K — боковые стороны. Расстояние между B₁C₁ и AD равно AB = 2√7. Расстояние между B₁C₁ и DD₁. Рассмотрим грань ABB₁A₁. У нас есть точка F на AA₁, A₁F = 6, FA = 8. Рассмотрим грань DD₁C₁C. У нас есть точка C₁. Плоскость содержит B₁C₁. Сечение - трапеция. Одно основание B₁C₁ = 4. Второе основание PK, где P на AA₁ и K на DD₁. Но у нас точка F на AA₁. Значит, плоскость содержит F, B₁, C₁. B₁C₁ = 4. AA₁ = 14. A₁F = 6. FA = 8. AB = 2√7. BC = 4. Рассмотрим грань AA₁B₁B. FB₁ = \( \sqrt{AB^2 + FA^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + 8^2} = \sqrt{28+64} = \sqrt{92} \). Рассмотрим грань CC₁D₁D. C₁D₁ = 4. DD₁ = AA₁ = 14. Рассмотрим грань BC C₁B₁. B₁C₁ = 4. BB₁ = AA₁ = 14. CC₁ = AA₁ = 14. BC = 4. Плоскость проходит через F, B₁, C₁. B₁C₁ = 4. F на AA₁. A₁F = 6. FA = 8. AB = 2√7. BC = 4. BB₁ = AA₁ = 14. CC₁ = AA₁ = 14. DD₁ = AA₁ = 14. C₁D₁ = AB = 2√7. B₁C₁ = 4. AD = BC = 4. AB = C₁D₁ = 2√7. AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁ = 14. Точка F на AA₁, A₁F = 6, FA = 8. Плоскость проходит через F, B₁, C₁. B₁C₁ = 4. Найдем координату точки F. Пусть A = (0, 0, 0), B = (2√7, 0, 0), D = (0, 4, 0), A₁ = (0, 0, 14). Тогда F лежит на AA₁, и A₁F = 6. Значит F = (0, 0, 14 - 6) = (0, 0, 8). B₁ = (2√7, 0, 14). C₁ = (2√7, 4, 14). Вектор B₁C₁ = (0, 4, 0). Длина B₁C₁ = 4. Плоскость проходит через F(0, 0, 8), B₁(2√7, 0, 14), C₁(2√7, 4, 14). Вектор FB₁ = (2√7, 0, 6). Вектор FC₁ = (2√7, 4, 6). Нормальный вектор плоскости: \( n = FB_1 \times FC_1 = \begin{vmatrix} i & j & k \\ 2\sqrt{7} & 0 & 6 \\ 2\sqrt{7} & 4 & 6 \end{vmatrix} = i(0-24) - j(12\sqrt{7} - 12\sqrt{7}) + k(8\sqrt{7} - 0) = -24i + 8\sqrt{7}k \). Уравнение плоскости: \( -24(x-0) + 0(y-0) + 8\sqrt{7}(z-8) = 0 \) => \( -24x + 8\sqrt{7}z - 64\sqrt{7} = 0 \) => \( 3x - \sqrt{7}z + 8\sqrt{7} = 0 \). Сечение — это многоугольник, образованный пересечением этой плоскости с параллелепипедом. У нас уже есть точки F, B₁, C₁. Точка B₁C₁ лежит на ребре B₁C₁. Ребро B₁C₁ параллельно AD. Значит, плоскость параллельна AD. Сечение будет трапецией. Одно основание B₁C₁ = 4. Другое основание будет лежать на ребре AD. Так как плоскость параллельна AD, и проходит через F на AA₁, она пересечет DD₁ в точке P, такой что FP параллельно B₁C₁. Значит FP = B₁C₁ = 4. Тогда сечение — это прямоугольник FB₁C₁P. Но P лежит на DD₁. F на AA₁. FB₁ и PC₁ — боковые стороны. FB₁ = \( \sqrt{AB^2 + FA^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + 8^2} = \sqrt{28+64} = \sqrt{92} = 2\sqrt{23} \). PC₁ = \( \sqrt{CD^2 + PD^2} \). PC₁ = FB₁, так как это параллелограмм. Значит, сечение — прямоугольник со сторонами 4 и \( 2\sqrt{23} \). Площадь = \( 4 \cdot 2\sqrt{23} = 8\sqrt{23} \). Проверим еще раз. Плоскость проходит через F, B₁, C₁. B₁C₁ = 4. F на AA₁, A₁F = 6. AA₁ = 14. FA = 8. AB = 2√7. BC = 4. AD = 4. AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁ = 14. B₁C₁ || AD. Сечение - трапеция FB₁C₁K, где K на DD₁. B₁C₁ = 4. FK || B₁C₁. FK = 4. FB₁ = \( \sqrt{AB^2 + FA^2} = \sqrt{(2\sqrt{7})^2 + 8^2} = \sqrt{28+64} = \sqrt{92} = 2\sqrt{23} \). C₁K = FB₁ = \( 2\sqrt{23} \) (так как FB₁C₁K — параллелограмм). Высота трапеции — расстояние между B₁C₁ и FK. Так как B₁C₁ || AD и FK || AD, то B₁C₁ || FK. Расстояние между B₁C₁ и AD равно AB = 2√7. Расстояние между B₁C₁ и FK. Рассмотрим плоскость ABB₁A₁. F на AA₁. Рассмотрим плоскость DCC₁D₁. K на DD₁. FK || B₁C₁ || AD. Расстояние от B₁C₁ до AD = AB = 2√7. Расстояние от B₁C₁ до FK. В параллелепипеде, если плоскость содержит B₁C₁ и F на AA₁, то сечение — параллелограмм. FB₁C₁K. FB₁ = \( 2\sqrt{23} \). B₁C₁ = 4. Угол между FB₁ и B₁C₁. Площадь сечения = \( B_1C_1 \cdot h \), где h — высота. Либо площадь = \( FB_1 \cdot B_1C_1 \sin(\angle FB_1C_1) \). Упростим. Сечение FB₁C₁. B₁C₁ = 4. F на AA₁, A₁F = 6. AB = 2√7. AA₁ = 14. Рассмотрим треугольник FB₁B. FB₁ = \( \sqrt{FA^2 + AB^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{7})^2} = \sqrt{64 + 28} = \sqrt{92} = 2\sqrt{23} \). Рассмотрим треугольник FC₁C. FC₁ = \( \sqrt{FA^2 + CD^2} = \sqrt{8^2 + (2\sqrt{7})^2} = \sqrt{64+28} = \sqrt{92} = 2\sqrt{23} \) (так как CD = AB). Так как FB₁ = FC₁, то треугольник FB₁C₁ — равнобедренный. Основание B₁C₁ = 4. Найдем высоту трапеции FB₁C₁K. Так как B₁C₁ || AD, плоскость содержит B₁C₁ и F, то она параллельна AD. Сечение - параллелограмм. FB₁C₁K. FB₁ = \( 2\sqrt{23} \). B₁C₁ = 4. Угол между FB₁ и AB. В прямоугольном параллелепипеде, сечение, проходящее через три точки, одна из которых на одном ребре, а две другие на смежных ребрах того же основания, будет трапецией. В данном случае, F на AA₁, B₁ и C₁ — вершины. B₁C₁ — ребро. Сечение — трапеция FB₁C₁P, где P на DD₁. B₁C₁ = 4. FP || B₁C₁. FP = 4. FB₁ = \( 2\sqrt{23} \). PC₁ = \( 2\sqrt{23} \). Высота трапеции — расстояние между B₁C₁ и FP. Рассмотрим проекцию на плоскость AA₁B₁B. F лежит на AA₁, FA = 8. B₁ на B₁B. Расстояние от B₁C₁ до AD = AB = 2√7. Расстояние от B₁C₁ до DD₁. Рассмотрим грань CC₁D₁D. C₁D₁ = 4. DD₁ = 14. Точка P на DD₁. CP. Рассмотрим плоскость, проходящую через F, B₁, C₁. Так как B₁C₁ || AD, то эта плоскость параллельна AD. Значит, она пересечет DD₁ в точке P, такой что FP || B₁C₁. Сечение - трапеция FB₁C₁P. B₁C₁ = 4. FP = 4. FB₁ = \( 2\sqrt{23} \). PC₁ = \( 2\sqrt{23} \). Значит, сечение — параллелограмм. Боковые стороны FB₁ = \( 2\sqrt{23} \) и B₁C₁ = 4. Угол между ними. Угол между FB₁ и B₁C₁. Рассмотрим вектор FB₁ = (2√7, 0, 6). Вектор B₁C₁ = (0, 4, 0). Угол между ними. \( \cos(\theta) = \frac{FB_1 \cdot B_1C_1}{|FB_1| |B_1C_1|} = \frac{(2\sqrt{7}, 0, 6) \cdot (0, 4, 0)}{|FB_1| |B_1C_1|} = \frac{0}{|FB_1| |B_1C_1|} = 0 \). Значит, угол равен \( 90^\circ \). Следовательно, сечение — это прямоугольник. Площадь = \( FB_1 \cdot B_1C_1 = 2\sqrt{23} \cdot 4 = 8\sqrt{23} \).

Ответ: 8√23.