Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами AB = √6 и BC = √7. Известно, что CC₁ = 2√3 и что точка М является серединой ребра AA₁. Найдите косинус угла между прямыми B₁M и C₁A.

Пусть точка B₁ находится в начале координат (0,0,0). Тогда координаты вершин будут: B₁(0,0,0), A₁(√6,0,0), C₁(0,√7,0), A(√6,0,2√3), C(0,√7,2√3), M(√6,0,√3).

Вектор $$\vec{B_1M}$$ = (√6, 0, √3).

Вектор $$\vec{C_1A}$$ = (√6, 0, 2√3).

Косинус угла между векторами находится по формуле: $$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$$.

$$\vec{B_1M} \cdot \vec{C_1A} = (\sqrt{6})(\sqrt{6}) + (0)(0) + (\sqrt{3})(2\sqrt{3}) = 6 + 6 = 12$$.

$$|\vec{B_1M}| = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 0^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{6+3} = \sqrt{9} = 3$$.

$$|\vec{C_1A}| = \sqrt{(\sqrt{6})^2 + 0^2 + (2\sqrt{3})^2} = \sqrt{6+12} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$$.

$$\cos(\alpha) = \frac{12}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = \frac{12}{9\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$$.