Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит квадрат ABCD со стороной AB=1. Известно, что BB₁ = 4 и что точка К — середина ребра АА₁. Найдите косинус угла между прямыми B₁C и KD.

1. Введем систему координат. Пусть A = (0,0,0), B = (1,0,0), D = (0,1,0), A₁ = (0,0,4). Тогда C = (1,1,0), B₁ = (1,0,4), D₁ = (0,1,4).

2. Найдем координаты точки K. Так как K — середина ребра AA₁, то K = (0,0,2).

3. Найдем векторы B₁C и KD. Вектор B₁C = C - B₁ = (1-1, 1-0, 0-4) = (0,1,-4). Вектор KD = D - K = (0-0, 1-0, 0-2) = (0,1,-2).

4. Найдем косинус угла между векторами B₁C и KD по формуле cos φ = (B₁C · KD) / (|B₁C| · |KD|). Скалярное произведение B₁C · KD = 0*0 + 1*1 + (-4)*(-2) = 1 + 8 = 9. Длина вектора B₁C = sqrt(0² + 1² + (-4)²) = sqrt(1+16) = sqrt(17). Длина вектора KD = sqrt(0² + 1² + (-2)²) = sqrt(1+4) = sqrt(5).

5. cos φ = 9 / (sqrt(17) * sqrt(5)) = 9 / sqrt(85).