Дан прямоугольный параллелепипед ABCDА₁B₁C₁D₁, в основании которого лежит прямоугольник со сторонами АВ = √3 и ВС =√17. Известно, что СС₁ = 4 и что точка М является серединой ребра А₁А. Найдите косинус угла между прямыми В₁М и С₁А.

Краткое пояснение:

Решение:

Пусть координаты точек будут следующие:

• A(0, 0, 0)
• B(√3, 0, 0)
• C(√3, √17, 0)
• A₁(0, 0, 4)
• C₁(√3, √17, 4)

Так как M — середина A₁A, то её координаты:

• M(0, 0, 2)

Найдём координаты вектора B₁M и C₁A:

• B₁(√3, 0, 4)
• B₁M = (-√3, 0, -2)
• C₁A = (-√3, -√17, -4)

Теперь найдём косинус угла между векторами B₁M и C₁A, используя формулу:

\[\cos \alpha = \frac{(B₁M \cdot C₁A)}{|B₁M| \cdot |C₁A|}\]

Вычислим скалярное произведение векторов B₁M и C₁A:

\[(B₁M \cdot C₁A) = (-√3) \cdot (-√3) + 0 \cdot (-√17) + (-2) \cdot (-4) = 3 + 0 + 8 = 11\]

Вычислим длины векторов B₁M и C₁A:

\[|B₁M| = \sqrt{(-√3)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{3 + 0 + 4} = \sqrt{7}\]\[|C₁A| = \sqrt{(-√3)^2 + (-√17)^2 + (-4)^2} = \sqrt{3 + 17 + 16} = \sqrt{36} = 6\]

Теперь подставим значения в формулу для косинуса угла:

\[\cos \alpha = \frac{11}{\sqrt{7} \cdot 6} = \frac{11}{6\sqrt{7}} = \frac{11\sqrt{7}}{6 \cdot 7} = \frac{11\sqrt{7}}{42}\]

Ответ: \(\frac{11\sqrt{7}}{42}\)