Дан прямоугольник ABCD, BK ⊥ AB, AK ⊥ AD, BD = 7, DK = 25. Найди площадь треугольника KBD. Ответ:

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Определение переменных и выражения сторон прямоугольника

Пусть AB = x и AD = y. Тогда, так как ABCD — прямоугольник, BC = x и CD = y. Из условия BD = 7 и DK = 25.

• Шаг 2: Применение теоремы Пифагора к треугольнику ABD

В прямоугольном треугольнике ABD по теореме Пифагора имеем: \[x^2 + y^2 = 7^2\] \[x^2 + y^2 = 49\]

• Шаг 3: Применение теоремы Пифагора к треугольнику AKD

В прямоугольном треугольнике AKD по теореме Пифагора имеем: \[y^2 + AK^2 = 25^2\] Так как AK = AB = x: \[x^2 + y^2 = 625\]

• Шаг 4: Нахождение длины стороны AD (y)

Выразим AD. У нас есть DK = 25 и BD = 7, поэтому BK = DK - BD = 25 - 7 = 18. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABK, где AB = x и BK = 18.

• Шаг 5: Выражение площади треугольника KBD

Площадь треугольника KBD равна половине произведения BK и AB, то есть: \[S_{KBD} = \frac{1}{2} \cdot BK \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 18 \cdot x = 9x\]

• Шаг 6: Вычисление значения x

Чтобы найти x, можно воспользоваться системами уравнений. Так как AK ⊥ AD, то AK = y. Тогда x = 24, так как DK = 25 и AD = 7. Следовательно, треугольник AKD прямоугольный, и по теореме Пифагора: AK² + AD² = DK², откуда AK = 24.

• Шаг 7: Расчет площади треугольника KBD

Теперь, когда мы знаем x = 24, мы можем найти площадь треугольника KBD: \[S_{KBD} = 9 \cdot 24 = 216\]

Ответ: 216