Дан параллелограмм ABCD. Известны координаты трех вершин: A(1;3), B(4;-1), C(6;5). Найдите координаты вершины D.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке O, которая является серединой каждой диагонали. Значит, середина диагонали AC совпадает с серединой диагонали BD.

Найдем координаты середины диагонали AC:

\( x_O = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{1 + 6}{2} = \frac{7}{2} \)

\( y_O = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4 \)

Таким образом, координаты точки пересечения диагоналей O: (\( \frac{7}{2} \); 4).

Теперь, зная координаты середины диагонали BD, найдем координаты точки D:

\( x_O = \frac{x_B + x_D}{2} \) \( \Rightarrow \) \( \frac{7}{2} = \frac{4 + x_D}{2} \) \( \Rightarrow \) \( 7 = 4 + x_D \) \( \Rightarrow \) \( x_D = 7 - 4 = 3 \)

\( y_O = \frac{y_B + y_D}{2} \) \( \Rightarrow \) \( 4 = \frac{-1 + y_D}{2} \) \( \Rightarrow \) \( 8 = -1 + y_D \) \( \Rightarrow \) \( y_D = 8 + 1 = 9 \)

Итак, координаты вершины D: (3; 9).

Ответ: D(3; 9).