Дан параллелепипед ABCDABCD₁. Какие из следующих трёх векторов компланарны: а) АА, СС₁, BB₁; б) AB, AD, AA₁; в) BB₁, AC, DD₁; г) AD, CC₁, AB?

Решение:

Компланарные векторы — это векторы, которые лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. В параллелепипеде ABCDABCD₁:

• а) $$\vec{AA_1}, \vec{CC_1}, \vec{BB_1}$$ — Эти векторы параллельны друг другу и перпендикулярны основаниям (если параллелепипед прямой). Следовательно, они лежат в параллельных плоскостях (или в одной плоскости, если рассмотреть их как векторы, исходящие из одной точки). Поэтому они компланарны.
• б) $$\vec{AB}, \vec{AD}, \vec{AA_1}$$ — Эти векторы являются ребрами параллелепипеда, исходящими из одной вершины A. Они определяют три измерения параллелепипеда и не лежат в одной плоскости. Следовательно, они не компланарны.
• в) $$\vec{BB_1}, \vec{AC}, \vec{DD_1}$$ — Векторы $$\vec{BB_1}$$ и $$\vec{DD_1}$$ параллельны. Вектор $$\vec{AC}$$ лежит в плоскости основания ABCD. Вектор $$\vec{BB_1}$$ перпендикулярен плоскости основания (если параллелепипед прямой). Поэтому векторы $$\vec{AC}$$ и $$\vec{BB_1}$$ не компланарны.
• г) $$\vec{AD}, \vec{CC_1}, \vec{AB}$$ — Вектор $$\vec{AD}$$ и $$\vec{AB}$$ лежат в плоскости основания ABCD. Вектор $$\vec{CC_1}$$ параллелен вектору $$\vec{AA_1}$$, который перпендикулярен плоскости основания (если параллелепипед прямой). Следовательно, $$\vec{CC_1}$$ не лежит в плоскости основания и не параллелен ей. Поэтому векторы $$\vec{AD}$$, $$\vec{CC_1}$$, $$\vec{AB}$$ не компланарны.

Ответ: а) $$\vec{AA_1}, \vec{CC_1}, \vec{BB_1}$$